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题组层级快练(九十三)1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是()A．(a＋3)22a2＋6a＋11B．a2＋1a2≥a＋1aC．|a－b|＋1a－b≥2D.a＋3－a＋1a＋2－a答案C解析(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－20，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3)＋(1－a)≥0⇐a3(a－1)－(a－1)≥0⇐(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；对C项中的不等式，当ab时，恒成立，当ab时，不恒成立；由不等式2a＋3＋a＋12a＋2＋a恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C.2．a2＋b2与2a＋2b－2的大小关系是()A．a2＋b22a＋2b－2B．a2＋b22a＋2b－2C．a2＋b2≤2a＋2b－2D．a2＋b2≥2a＋2b－2答案D解析∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，∴a2＋b2≥2a＋2b－2.3．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案2解析(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝m＝2时等号成立)．4．(2015·沧州七校联考)若logxy＝－2，则x＋y的最小值为________．答案3322解析由logxy＝－2，得y＝1x2.而x＋y＝x＋1x2＝x2＋x2＋1x2≥33x2·x2·1x2＝3314＝3322，当且仅当x2＝1x2即x＝32时取等号．所以x＋y的最小值为3322.5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________．答案3解析方法一：(a＋b＋c)2＝a＋b＋c＋2ab＋2bc＋2ca≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二：柯西不等式：(a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.6．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．答案12解析由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12，当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12.7．(2015·江苏南通)已知x0，y0，a∈R，b∈R.求证：(ax＋byx＋y)2≤a2x＋b2yx＋y.证明因为x0，y0，所以x＋y0.所以要证(ax＋byx＋y)2≤a2x＋b2yx＋y，即证(ax＋by)2≤(x＋y)(a2x＋b2y)，即证xy(a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立．故(ax＋byx＋y)2≤a2x＋b2yx＋y.8．(2014·江苏)已知x0，y0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.证明因为x0，y0，所以1＋x＋y2≥33xy20,1＋x2＋y≥33x2y0.故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.9．(2014·福建)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.答案(1)3(2)略思路①利用绝对值三角不等式，即可求出参数a的值，注意等号成立的条件；②把①中求得的a的值代入函数p＋q＋r＝a中，再利用柯西不等式，即可证明结论．解析(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9.即p2＋q2＋r2≥3.10．(2015·福建质量检查)若a，b，c∈R＋，且满足a＋b＋c＝2.(1)求abc的最大值；(2)证明：1a＋1b＋1c≥92.答案(1)827(2)略解析(1)因为a，b，c∈R＋，所以2＝a＋b＋c≥33abc，故abc≤827.当且仅当a＝b＝c＝23时等号成立．所以abc的最大值为827.(2)证明：因为a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2，所以根据柯西不等式，可得1a＋1b＋1c＝12(a＋b＋c)·(1a＋1b＋1c)＝12[(a)2＋(b)2＋(c)2]×[(1a)2＋(1b)2＋(1c)2]≥12(a×1a＋b×1b＋c×1c)2＝92.所以1a＋1b＋1c≥92.11．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.答案(1)1(2)略解析(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)证明：由(1)知1a＋12b＋13c＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(1a＋12b＋13c)≥(a·1a＋2b·12b＋3c·13c)2＝9.