新课标版数学（理）高三总复习之2-5函数与基本初等函数

高考调研第1页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习第二章函数与基本初等函数高考调研第2页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习第5课时二次函数高考调研第3页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．高考调研第4页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考调研第5页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是x＝；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．－b2a(－b2a，4ac－b24a)x＝x1＋x22(x1,0)，(x2,0)高考调研第8页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性x＝k(k，h)当a0时，上为增函数；在上为减函数；当a0时，与之相反．(－b2a，＋∞)(－∞，－b2a)高考调研第9页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．ax2＋bx＋c＝0(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝.b2－4ac|a|(3)当时，恒有f(x)0；当时，恒有f(x)0.a0，Δ0a0，Δ0高考调研第10页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a∈[m，n]，则f(x)max＝maxfm，fn，f(x)min＝f(－b2a)．(2)若－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．高考调研第11页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越小．高考调研第12页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(3)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.高考调研第13页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(4)若二次函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，则该二次函数在x＝1处取得最小值．答案(1)×(2)×(3)√(4)×高考调研第14页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为()A．y＝2(x－1)2＋3B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3D．y＝－2(x＋1)2＋3答案D解析设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知a＝－2，h＝1，k＝3，故y＝－2(x＋1)2＋3.高考调研第15页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则()A．x0≥bB．x0≤aC．x0∈(a，b)D．x0∉(a，b)答案D解析若x0∈(a，b)，f(x0)一定为最大值或最小值．高考调研第16页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知二次函数y＝f(x)满足f(0)＝f(2)，若x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝________.答案2解析∵f(0)＝f(2)，∴函数f(x)的图像关于x＝1对称．∴x1＋x2＝2×1＝2.高考调研第17页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，确定下列各式的正负：b______0，ac______0，a－b＋c______0.答案解析∵a0，－b2a0，∴b0.∵ca＝x1x20，∴ac0，a－b＋c＝f(－1)0.高考调研第18页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第19页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试求此二次函数的解析式．【思路】会利用待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数解析式的三种形式．题型一二次函数的解析式高考调研第20页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：利用二次函数一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)，由题意得4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8.解之得a＝－4，b＝4，c＝7.∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.高考调研第21页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：利用二次函数顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n，∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝2＋－12＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a(x－12)2＋8.高考调研第22页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习∵f(2)＝－1，∴a(2－12)2＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.高考调研第23页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法三：利用两根式．由已知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8.∴a＝0(舍)或a＝－4.∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7即4a－2a－1－a24a＝8，高考调研第24页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：高考调研第25页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1已知二次函数图像的顶点是(－2，32)与x轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为____________．【解析】方法一：设二次函数为y＝a(x＋2)2＋32，即y＝ax2＋4ax＋4a＋32.高考调研第26页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习由|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝42－44＋32a＝－6a＝6，得a＝－16.∴二次函数的解析式为y＝－16x2－23x＋56.高考调研第27页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：设图像与x轴的两交点为A(x1,0)，B(x2,0)，(x1x2)，由题意得x1＝－2－3＝－5，x2＝－2＋3＝1，∴设二次函数解析式为y＝a(x＋5)(x－1)．将x＝－2，y＝32代入上式解得a＝－16.∴y＝－16(x＋5)(x－1)＝－16x2－23x＋56.【答案】y＝－16x2－23x＋56高考调研第28页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例2求下列函数的值域：(1)y＝x2＋4x－2，x∈R；(2)y＝x2＋4x－2，x∈[－5,0]；(3)y＝x2＋4x－2，x∈[－6，－3]；(4)y＝x2＋4x－2，x∈[0,2]．【思路】这些函数都是二次函数且解析式都相同，但是各自函数的定义域都是不同的，应该通过“配方”借助于函数的图像而求其值域．题型二二次函数的值域与最值高考调研第29页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)配方，得y＝(x＋2)2－6，由于x∈R，故当x＝－2时，ymin＝－6，无最大值．高考调研第30页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习所以值域是[－6，＋∞)．(图①)(2)配方，得y＝(x＋2)2－6.因为x∈[－5,0]，所以当x＝－2时，ymin＝－6.当x＝－5时，ymax＝3.故函数的值域是[－6,3]．(图②)(3)配方，得y＝(x＋2)2－6.因为x∈[－6，－3]，所以当x＝－3时，ymin＝－5.当x＝－6时，ymax＝10.故函数的值域是[－5,10]．(图③)高考调研第31页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(4)配方，得y＝(x＋2)2－6.因为x∈[0,2]，所以当x＝0时，ymin＝－2.当x＝2时，ymax＝10.故函数的值域是[－2,10]．(图④)【答案】(1)[－6，＋∞)(2)[－6,3](3)[－5,10](4)[－2,10]高考调研第32页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【讲评】上述四个题目相同但所给的区间不同，最后得到的值域也不同，主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的，因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图像是什么样子．高考调研第33页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法．高考调研第34页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习求下列函数的值域：【答案】(1)[0，](2)[0,2]思考题2(1)y＝－x2＋4x－1；(2)y＝2－4x－x2(0≤x≤4)．高考调研第35页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例3已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求实数a的值．【思路】因为x有限制条件，要求函数最值，需作出函数图像，作图像先看开口方向，再看对称轴位置，因为此函数的对称轴是x＝a位置不定，并且在不同位置产生的结果也不相同，所以要对对称轴的位置进行分类讨论．高考调研第36页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】当对称轴x＝a0时，如图1所示，当x＝0时，y有最大值ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a0，∴a＝－1.当对称轴0≤a≤1时，如图2所示，当x＝a时，y有最大值ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.高考调研第37页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习当对称轴a1时，如图3所示．当x＝1时，y有最大值．ymax＝f(1)＝2a－a＝2.∴a＝2，且满足a1，∴a＝2.综上可知：a的值为－1或2.【答案】－1或2∴a2－a＋1＝2，解得a＝1±52.∵0≤a≤1，∴a＝1±52(舍去)．高考调研第38页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高