新课标版数学（理）高三总复习之2-10函数与基本初等函数

高考调研第1页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习第二章函数与基本初等函数高考调研第2页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习第10课时函数与方程高考调研第3页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．高考调研第4页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意1．函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，易误认为函数图像与x轴的交点．2．由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示．所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．高考调研第5页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第6页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．函数零点的概念零点不是点！(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标．2．函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与有交点⇔函数y＝f(x)有．x轴零点高考调研第8页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有.那么，函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4．二分法的定义对于在[a，b]上连续不断，且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的所在的区间，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)0(a，b)f(a)·f(b)0零点一分为二高考调研第9页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．用二分法求函数f(x)零点近似值(1)确定区间[a，b]，验证，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若，则x1就是函数的零点；②若，则令b＝x1，(此时零点x0∈(a，x1))；③若，则令a＝x1，(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)－(4)．f(a)·f(b)0f(x1)＝0f(a)·f(x1)0f(x1)·f(b)0高考调研第10页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．(2)若函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)0.(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac0时没有零点．(4)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根．答案(1)×(2)×(3)√(4)√高考调研第11页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习2．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为()A．2B．3C．1D．4答案A解析构造函数y＝2－x与y＝3－x2，在同一坐标系中作出它们的图像，可知有两个交点，故方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为2.故选A.高考调研第12页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习3．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的区间是()A．(12，1)B．(1，e－1)C．(e－1,2)D．(2，e)答案C解析因为f(12)＝ln32－40，f(1)＝ln2－20，f(e－1)＝1－2e－10，f(2)＝ln3－10，所以f(e－1)f(2)0，故函数的零点所在的区间是(e－1,2)．高考调研第13页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习4．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C.高考调研第14页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习5．若在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c0，则函数的零点个数是________．答案2高考调研第15页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习解析∵c＝f(0)，∴a·c＝af(0)0，即a和f(0)异号．∴a0，f00或a0，f00.如图所示结合图示知函数必定有两个零点．高考调研第16页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第17页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例1(1)(2013·天津理)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为()A．1B．2C．3D．4题型一零点的个数及求法高考调研第18页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点也就是方程2x|log0.5x|－1＝0的根，即2x|log0.5x|＝1，整理得|log0.5x|＝(12)x.令g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝(12)x，作g(x)，h(x)的图像如图所示．因为两个函数图像有两个交点，所以f(x)有两个零点．【答案】B高考调研第19页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)函数f(x)＝xcos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2B．3C．4D．5【解析】借助余弦函数的图像求解．f(x)＝xcos2x＝0⇒x＝0或cos2x＝0，又cos2x＝0在[0,2π]上有π4，3π4，5π4，7π4，共4个根，故原函数有5个零点．【答案】D高考调研第20页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图像，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．高考调研第21页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．【解析】f′(x)＝2xln2＋3x2，在(0,1)上f′(x)0恒成立，∴f(x)在(0,1)上单调递增．又∵f(0)＝－10，f(1)＝10，∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点．【答案】1思考题1高考调研第22页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二求零点所在区间例2(2015·河南十所名校联考)设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点高考调研第23页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：令f(x)＝0得13x＝lnx.作出函数y＝13x和y＝lnx的图像，如图，显然y＝f(x)在(1e，1)内无零点，在(1，e)内有零点，故选D.高考调研第24页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：当x∈(1e，e)时，函数图像是连续的，且f′(x)＝13－1x＝x－33x0，所以函数f(x)在(1e，e)上单调递减．又f(1e)＝13e＋10，f(1)＝130，f(e)＝13e－10，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．故选D.【答案】D高考调研第25页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2此类题的解法是将f(x)＝0，拆成f(x)＝g(x)－h(x)＝0，画出h(x)与g(x)的图像，从而确定方程g(x)＝h(x)的根所在的区间．高考调研第26页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)思考题2【解析】函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图像交点的横坐标所在的范围．作图如图所示：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．【答案】B高考调研第27页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习题型三零点性质的应用例3(2015·朝阳区)已知函数f(x)＝12x＋34，x≥2，log2x，0x2.若函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．高考调研第28页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】画出函数f(x)图像如图．要使函数g(x)＝f(x)－k有两个不同零点，只需y＝f(x)与y＝k的图像有两个不同交点，由图易知k∈(34，1)．【答案】(34，1)高考调研第29页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究3已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后观察求解．高考调研第30页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习若函数f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有两个零点，求实数a的取值范围．【解析】函数f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有两个零点，即方程ax－x－a＝0有两个根，即函数y＝ax与函数y＝x＋a的图像有两个交点．思考题3高考调研第31页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习当0a1时，图像如图①所示，此时只有一个交点．当a1时，图像如图②所示，此时有两个交点．∴实数a的取值范围为(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)高考调研第32页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习例4(1)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．题型四二分法【解析】因为f(0)0，f(0.5)0，由二分法原理得一个零点x0∈(0,0.5)；第二次应计算f(0＋0.52)＝f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)高考调研第33页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．【解析】区间(1,2)的中点x0＝32，令f(x)＝x3－2x－1，f(32)＝278－40，f(2)＝8－4－10，则根所在区间为(32，2)．【答案】(32，2)高考调研第34页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习探究4利用二分法求近似解需注意的问题：(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)0；(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．高考调研第35页第二章函数与基本初等函数新课标版·数学（理）·高三总复习在用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似