新课标版数学（理）高三总复习之3-1导数及应用

高考调研第1页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第三章导数及应用高考调研第2页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习第1课时变化率与导数高考调研第3页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，会求某些简单函数的导数．高考调研第4页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习请注意本章中导数的概念，求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，复习中要引起重视．高考调研第5页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)当把上式中的x0看做变量x时，f′(x)即为f(x)的________，简称导数，即y′＝f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.即f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，瞬时变化率导函数高考调研第8页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点__________处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为．3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝(C为常数)；(2)(xn)′＝(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝；(4)(cosx)′＝；(5)(ax)′＝；(6)(ex)′＝；P(x0，f(x0))y－y0＝f′(x0)(x－x0)0nxn－1cosx－sinxaxlnaex(7)(logax)′＝；(8)(lnx)′＝.1xlna1x高考调研第9页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(3)(uv)′＝；4．两个函数的四则运算的导数若u(x)，v(x)的导数都存在，则(1)(u±v)′＝；(2)(u·v)′＝；u′±v′u′v＋uv′u′v－uv′v2(v≠0)(4)(cu)′＝(c为常数)．cu′高考调研第10页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习5．复合函数的导数设u＝g(x)在点x处可导，则复合函数y＝f[g(x)]在点x处可导，且f′(x)＝.f′(u)·u′x高考调研第11页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)f′(x)与f′(x0)(x0为常数)表示的意义相同．(2)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(5)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.答案(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×高考调研第12页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习2．(课本习题改编)若函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则ΔyΔx等于()A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2答案C解析Δy＝(1＋Δy)－1＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴ΔyΔx＝2Δx＋4，故选C.高考调研第13页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2014·大纲全国理)曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1答案C解析y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.高考调研第14页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习4．下列函数求导运算正确的是________．①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝1x·ln2；③(sinπ3)′＝cosπ3；④(1lnx)′＝x.答案②高考调研第15页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习5．有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________．答案134解析∵s(t)＝t2＋3t，∴s′(t)＝2t－3t2.∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－34＝134.高考调研第16页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第17页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型一导数的概念例1利用导数定义求函数f(x)＝x在x＝1处的导数．高考调研第18页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】f′(x)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔx→01＋Δx－1Δx＝limΔx→01＋Δx－11＋Δx＋1Δx1＋Δx＋1＝limΔx→011＋Δx＋1＝12.【答案】12高考调研第19页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率ΔyΔx当Δx→0时极限是否存在．(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx，再求极限y′＝limΔx→0ΔyΔx.(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可以是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种．(4)导数定义limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，也即limx→x0fx－fx0x－x0＝f′(x0)．高考调研第20页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝________；limΔx→0f2－Δx－f2Δx＝________；limx→2fx－f2x－2＝________.设f(x)＝x3－8x，则思考题1【答案】4，－4,4高考调研第21页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型二导数运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1.高考调研第22页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)方法一：y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.方法二：y′＝(3x3－4x)′·(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.高考调研第23页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(4)y′＝lnx′x2＋1－lnx·x2＋1′x2＋12＝1x·x2＋1－lnx·2xx2＋12＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12.【答案】(1)y′＝24x3＋9x2－16x－4(2)y′＝2xsinx＋x2cosx(3)y′＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2(4)y′＝x2＋1－2x2·lnxxx2＋12高考调研第24页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)熟记基本初等函数的导数公式及法则是导数运算的前提．(2)公式不仅要会正用，而且要求会逆用！高考调研第25页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2求下列各函数的导数：(1)y＝x＋x5＋sinxx2；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝－sinx2(1－2cos2x4)．【解析】(1)y′＝－32x－52＋3x2－2x－3sinx＋x－2cosx.(2)y′＝3x2＋12x＋11.(3)y′＝(12sinx)′＝12(sinx)′＝12cosx.高考调研第26页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型三复合函数的导数例3求下列函数的导数：(1)y＝e2xcos3x；(2)y＝lnx2＋1.高考调研第27页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)y′＝(e2x)′cos3x＋e2x(cos3x)′＝2e2xcos3x＋e2x(－3sin3x)＝e2x(2cos3x－3sin3x)．(2)设u＝x2＋1，v＝x2＋1，y′＝1x2＋1·12·2xx2＋1＝xx2＋1或y＝12ln(x2＋1)，y′＝12·2xx2＋1＝xx2＋1.【答案】(1)y′＝e2x(2cos3x－3sin3x)(2)y′＝xx2＋1高考调研第28页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习探究3求复合函数的导数时，易搞不清如何复合而出错，应先分析复合函数的结构，引入中间变量u将复合函数分解为基本初等函数或较简单函数y＝f(u)和u＝φ(x)，然后用复合函数的求导法则求导，有时一个函数不能一次分解完成，需要进行多步分解．高考调研第29页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(1)f(x)＝ln(x－1)2；(2)f(x)＝cos(π3－2x)；(3)f(x)＝e－2xsin(2x)．求下列函数的导数：思考题3高考调研第30页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)f′(x)＝2x－1x－12＝2x－1.(2)f′(x)＝－sin(π3－2x)(－2)＝2sin(π3－2x)＝－2sin(2x－π3)．(3)f′(x)＝e－2x(－2)sin2x＋2e－2xcos2x＝－2e－2xsin2x＋2e－2xcos2x＝－22e－2xsin(2x－π4)．高考调研第31页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)f′(x)＝2x－1(2)f′(x)＝－2sin(2x－π3)(3)f′(x)＝－22e－2xsin(2x－π4)高考调研第32页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习题型四导数的几何意义例4已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．【解析】(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝22＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.高考调研第33页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x30＋43)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.高考调研第34页第三章导数及应用新课标版·数学（理）·高三总复习(3)设切点为(x0，y0)．故切线的斜率为k＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为(1，53)，(－1,1)．故所求切线方程为y－53＝x－1和y－1＝x＋1.即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.【答案】(1)4x－y－4＝0(2