九年级数学下册 第一章直角三角形的边角关系 4船有触礁的危险吗 5测量物体的高度习题课件 北师大版

4船有触礁的危险吗5测量物体的高度1.能够将实际问题转化为数学问题,并能借助计算器进行三角函数的计算.(重点)2.会把实际问题转化为数学问题.(难点)方位角如图,以O为观测点,则观测方向OA是指___________,OB是指___________,OC是指___________,OD是指___________(西南方向).北偏东60°南偏东30°北偏西70°南偏西45°【归纳】在水平面上,过观测点O作一条水平线(向右为东方)和一条铅垂线(向上为北方),则从O点出发的_____与________________的夹角叫做观测的方位角.视线水平线或铅垂线(打“√”或“×”)(1)对于方位角,各观测点的南北方向线不一定平行.()(2)若从点A看点B在北偏东60°方向,则从点B看点A在南偏西30°方向.()(3)从不同位置观察同一物体,方位角一定不同.()(4)测量物体的高度时至少要知道三个数据.()××××知识点1与方位角有关的问题【例1】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,A,B,C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图),点C在点A的北偏东47°方向,点B在点A的南偏东79°方向,且A,B两点的距离约为5.5km;同时,点B在点C的南偏西36°方向.若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼,需要多长时间到达?(结果保留小数点后两位)(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan47°≈1.07,tan36°≈0.73,tan11°≈0.19)【思路点拨】作BD⊥AC于点D,根据方位角分别求出∠CAB和∠ACB的度数,然后在Rt△ABD和Rt△BCD中分别求出AD,CD的长,再根据时间=路程÷速度,即可求出需要的时间.【自主解答】作BD⊥AC于D,∠CAB=180°-47°-79°=54°,∠ACB=47°-36°＝11°.在直角三角形ABD中，BD=ABsin54°,AD=ABcos54°，在直角三角形BCD中,≈5.5×0.59+5.5×0.81÷0.19≈26.69，26.69÷30≈0.89(h).答：大约需要0.89h到达.BDCDtan11，BDACADDCABcos54tan11＋＋ABsin54ABcos54tan11【总结提升】运用三角函数解决实际问题“三步法”知识点2测量物体的高度【例2】极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上．为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1m的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22°；再向前走63m到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39°(如图是他设计的平面示意图)．已知平台的高度BH约为13m，请你求出“八卦楼”的高度约是多少？(参考数据：)72164sin22tan22sin39tan39205255，，，【解题探究】1.如果设AG=xm，你能用含x的式子表示出CG及EG的长吗？提示：在Rt△ACG中，在Rt△AEG中，AG2tan22CG5，55CGAGx22．AG455tan39EGAGxEG544，．2.你能找出等量关系，列出关于x的方程，并求出AG的长吗？提示：∵CG-EG=CE．3.你能求出AH的长吗？提示：∵GH=CD=1.1m，∴AH=AG+HG=50.4+1.1=51.5(m).55xx63x50.4AG50.4m24－，，．4.根据以上探究可求出“八卦楼”的高度：AB=______=________=_____(m)，即“八卦楼”的高度约为_____m．AH-BH51.5-1338.538.5【互动探究】本题中“八卦楼”的高度还可以怎样计算？提示：还可以先算出BG的长，再用AG-BG即可求出.【总结提升】与测量有关的常见图形与关系式图形关系式BD=CE,AC=BC·tanα,AE=AC+CEBDBCDC11AC()tantanAGACCGACBE－，图形关系式BC=DC-BD=AD·(tanα-tanβ)BCBDDC11AD()tantan图形关系式AB=DE=AE·tanβ,CD=CE+DE=AE(tanα+tanβ)BCBEEFCFBEADCF11ADh()tantan题组一：与方位角有关的问题1.如图，轮船从B处以每小时50nmile的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是()A253nmileB252nmileC50nmileD25nmile．．．．【解析】选D.根据题意,∠1=∠2=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ACB=30°+60°=90°,∵∠CBA=75°-30°=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25(nmile).2.已知儿童公园在小明家的正东方,超市在儿童公园的北偏西40°方向上,儿童公园到超市与小明家到超市的距离相等,则超市在小明家的()A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°【解析】选D.如图所示,图中A,B,C分别为小明家、儿童公园、超市,可知C在A的北偏东40°方向上,即超市在小明家的北偏东40°方向.3.(2013·潍坊中考)一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险,测得海岛A与B的距离为20海里,渔船将险情报告给位于A处的救援船后,沿北偏西80°方向向海岛C靠近.同时,从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后,救援船在海岛C处恰好追上渔船,那么救援船航行的速度为()【解析】选D.∠ABC=80°-20°=60°，∠CAB=20°+10°=30°，∴∠C=90°.在Rt△ACB中，(海里)，∴救援船的速度为(海里/小时).A.103/B.30/C.203/D.303/海里小时海里小时海里小时海里小时3ACABcos30201032110330334.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距______m.【解析】由题干图,易求得∠C=30°,且∠BAC=30°,所以BC=AB=200m.答案:200【变式备选】如图,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,航行半小时后到达B处,此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上,那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.【解析】作MN⊥AB于N.由题意知∠MAB=30°,∠MBN=60°,∴∠BMA=∠BAM=30°.设该船的速度为x,则BM=AB=0.5x.Rt△BMN中,∠MBN=60°,故该船需要继续航行的时间为0.25x÷x=0.25(h)=15(min).答案:151BNBM0.25x.25.(2013·黄石中考)高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C点处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶.试问:消防车是否需要改道行驶?说明理由.(取1.732)3【解析】作AB⊥CF,垂足为B，由题意知∠ACF=75°-15°=60°,在Rt△ABC中，=108.25(米),∵108.25＞100,∴消防车不需要改道行驶.AB31.732sinACB,AB125sin60125125AC22题组二：测量物体的高度1.(2013·绵阳中考)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()A.20米B.米C.米D.米10315356【解析】选A.过D作DE垂直于AE，如图.因为AB⊥BC,GF⊥BC,GB=GC,GF=15米,所以AB=CE=30米.在Rt△GFC中,∠FCG=60°，GF=15米,所以(米),所以米.在Rt△ADE中,(米)，所以CD=CE-DE=20(米).GCGFtan3053BC1033DEAEtan301031032.数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10m的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是______m．【解析】设旗杆高度为xm，所以解得答案：xtan6010，x103.103【名师点拨】解决实际问题列方程时常用的等量关系利用三角函数解决实际问题时，常要列方程求解,列方程时常用的等量关系有：①勾股定理.②相似三角形的性质.③三角函数的定义等.3.周末，小强在广场放风筝，如图，小强为了计算风筝离地的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10m，小强的身高AB为1.55m，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．(结果精确到1m，参考)21.41,31.73【解析】如图，过点C作CE∥AB，交地面于点E，过点B作BD⊥CE，垂足为D，则∠CDB＝90°，∠CBD＝60°，DE＝AB＝1.55m，∴在Rt△BCD中，∴风筝离地面的高度CE＝CD+DE=+1.55≈5×1.73+1.55≈10(m).答：风筝离地面的高度约为10m．3CDsin60BC1053m2，534.(2013·乐山中考)如图,山顶有一铁塔AB的高度为20米,为测量山的高度BC,在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60°和45°,求山的高度BC.(结果保留根号)【解析】∵∠C=90°，∠BDC=45°，则CD=CB,又∵∠CDA=60°，整理得：解得：米.答：山的高度BC为米.ACABBCtanCDA3,CDBC20BC3BC，BC(10310)(10310)【想一想错在哪？】如图，甲楼AB的高度为20m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为30°，测得乙楼底部D处的俯角为45°，求乙楼CD的高度.(结果精确到0.1m，)31.732提示：仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不是∠C.