九年级数学下册 第三章圆 5 直线和圆的位置关系第2课时习题课件 北师大版

5直线和圆的位置关系第2课时1.探索圆的切线的判定方法，并会用切线的判定进行计算和证明．(重点、难点)2.作三角形内切圆的方法．(重点、难点)1.切线的判定定理(1)经过直径的一端，并且_____于这条直径的直线是圆的切线.(2)数学语言：如图：若AB是⊙O的直径，直线l经过点A(或点B)，l⊥AB，则直线l是⊙O的切线.基础梳理垂直2.三角形的内切圆(1)定义：和三角形的___边都相切的圆.(2)三角形的内心：内切圆的_____，也即三角形的三条角平分线的交点.(3)三角形的内心的性质：到三角形_____的距离相等.三圆心三边(打“√”或“×”)(1)圆有无数条切线，经过圆上一点只有一条切线.()(2)三角形的内心一定在三角形的内部.()(3)被直径垂直的直线都是圆的切线.()(4)一个三角形一定有且只有一个内切圆.()√√×√知识点1切线的判定【例1】如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切.【解题探究】1.已知⊙O的切线AB和切点D，连接OD，有何结论？提示：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB，OD为⊙O的半径.2.作OE⊥AC,垂足为E.怎样证明直线AC为⊙O的切线？提示：连接OA，∵AB=AC,OB=OC,∴AO平分∠BAC，∴OE=OD，∴AC与⊙O相切.【总结提升】切线判定的两种思路1.连半径，证垂直：若已知直线与圆有公共点，则连接圆心与公共点，证明垂直.2.作垂直，证等径：若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径.知识点2三角形的内切圆【例2】如图,⊙O是△ABC的内切圆,与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F,∠DEF=45°.连接BO并延长交AC于点G,AB=4,AG=2.(1)求∠A的度数.(2)求⊙O的半径.【思路点拨】(1)连接OF，OD，根据内切圆的性质及圆周角和圆心角的性质求出四边形三个角的角度，再确定∠A.(2)由△BOD和△BGA相似，根据相似三角形的对应边成比例，求出OD的长度，即圆的半径.【自主解答】(1)连接OD,OF,∵⊙O是△ABC的内切圆,∴OD⊥AB,OF⊥AC.∵∠DOF=2∠DEF=2×45°=90°,∴四边形ADOF是矩形,∴∠A=90°.(2)设⊙O的半径为r,由(1)知四边形ADOF是矩形,又OD=OF,∴四边形ADOF是正方形.∴OD∥AC.∴△BOD∽△BGA.即解得∴⊙O的半径为DOBD,AGBAr4r,244r.34.3【总结提升】三角形的内切圆1.在解决三角形内切圆的相关问题时,常利用切线性质,借助方程、方程组模型加以解决或利用内心性质来判定切线.2.三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：三角形的面积为在有些计算三角形内切圆的半径时,可通过勾股定理把三角形的面积求出来,a,b,c三边已知,代入上式可求出内切圆的半径.1S(abc)r,2题组一：切线的判定1.下列说法正确的是()A.圆的切线必垂直于半径B.垂直于切线的直线必经过圆心C.垂直于切线的直线必经过切点D.经过圆心与切点的直线必垂直于切线【解析】选D.圆的切线必垂直于经过切点的半径，故A项错误；垂直于切线的直线有无数条，不一定过圆心，垂直于切线的直径才过圆心和切点，故选项B，C错误；D正确.2.如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为______．【解析】当△ABC为直角三角形时，即∠ABC＝90°时，BC与圆相切，∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝90°，∴BC是⊙O的切线.答案：∠ABC＝90°(答案不惟一)3.如图,点A,B,D在⊙O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与⊙O的位置关系为_______.【解析】∵∠BOC=2∠A=50°,∠OCB=40°,∴在△OBC中,∠OBC=180°-50°-40°=90°.∴直线BC与⊙O相切.答案：相切4.(2013·滨州中考)如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．【证明】连接OE，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴∠OEB=∠C．∴OE∥AC．∵EF⊥AC，∴OE⊥EF．∴直线EF是⊙O的切线．5.(2013·珠海中考)如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，C，D，且与AB相切于点A，(1)求证：BC为⊙O的切线.(2)求∠B的度数.【解析】(1)连接OA，OB，OC,∵AB切⊙O于点A,∴∠BAO=90°,∵四边形ABCD是菱形,∴BA=BC,∵OA=OC,OB=OB,∴△ABO≌△CBO(SSS),∴∠BCO=∠BAO=90°,∴BC为⊙O的切线.(2)∵∠AOC=2∠D,∠B=∠D,∴∠AOC=2∠B,又∵∠AOC+∠B=180°,∴∠B=60°.题组二：三角形的内切圆1.下列命题正确的是()A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B.三角形的内心不一定在三角形的内部C.等边三角形的内心、外心重合D.一个圆一定有惟一的一个外切三角形【解析】选C.三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，所以到三角形三边的距离相等，三角形的内心一定在三角形内部，等边三角形的三边垂直平分线的交点与角平分线的交点重合;一个圆有无数个外切三角形，故选C.2.如图所示，点O为△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC的度数为()A.130°B.100°C.50°D.65°【解析】选A.∵点O是△ABC的内心，∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)11OBCABC,OCBACB,2211180(ABCACB)2211180(180BAC)90BAC130.22【归纳整合】直角三角形内切圆的半径的两种求法已知直角三角形直角边为a,b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r.(1)切线长定理：根据切线长定理推得,a-r+b-r=c，即(2)面积法：根据三角形面积等于三角形的周长与三角形内切圆半径乘积的一半，得即abcr.211ababcr22，abr.abc3.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分别为D，E，则⊙O的半径为()A.8B.6C.5D.4【解析】选D.连接OD，则OD⊥AB，∠A＝90°，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BCA，又∵O为BC的中点，∴OD＝则OD＝4，⊙O的半径为4．ODBOACBC，1AC2，4.如图,正三角形ABC的内切圆半径为1,那么三角形的边长为______.【解析】过O点作OD⊥AB于D,则OD=1,∵O是△ABC的内心,∴∠OAD=30°.在Rt△OAD中,∠OAD=30°,OD=1,答案：ODAD3,AB2AD23.tan30235.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E，F，G，H是切点，点P是上异于E，H的点.若∠A＝50°，则∠EPH＝_____.EFH【解析】连接OH，OE，∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴OH⊥AD，OE⊥AB，∵∠A＝50°，∴∠HOE＝130°，答案：65°1EPHHOE65.2＝＝【想一想错在哪？】已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E，求证：OB与⊙D相切.提示：证明OB为⊙D的切线，尚不知道OB与⊙D是否有公共点，所以不能“连半径，判垂直”，而应该“作垂直，判半径”.