九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.4 二次函数的应用 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题

实际问题中二次函数的最值问题学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点)3.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）4.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.（难点）导入新课情境引入思考：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.解决生活中面积的实际问题时，你会用到了什么知识？商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.那怎么获取最大利润呢？引例：用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）x解：设矩形窗框的宽为xm，则高为m.这里应有x＞0，故0＜x＜2.632x6302x＞矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：632xyxg几何图形的最大面积一讲授新课233.2yxx即233(1).22yx配方得所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.x=1满足0＜x＜2，这时631.5.2x因此，所做矩形窗框的宽为1m、高为1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5m2.例1用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1矩形面积公式是什么？典例精析问题2如何用l表示另一边？问题3面积S的函数关系式是什么？例1用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即S=-l2+30l(0l30).因此，当时，S有最大值301522(1)bla2243022544(1)acba也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.51015202530100200lsO变式1如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3面积S的函数关系式是什么？问题4如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5如何求最值？最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1变式1与例1有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.变式2如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1变式2与变式1有什么异同？问题2可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则26013022xSxxx问题4当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5如何求自变量的取值范围？0＜x≤18.问题6如何求最值？由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.不正确.变式3用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行.设AB=xm,当x为多少是，矩形框架ABCD的面积最大，最大面积是多少？22444(3)12,33xSxx解：∵40,3a∴当x=3时，S有最大值，且S最大=12m2.ADBC实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法总结知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.利润最大问题二某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是元，销售利润元.探究交流180006000数量关系（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.例2某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10xy=(20+x)(300-10x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000.6000②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当时,y=-10×52+100×5+6000=6250.10052(10)x即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18xy=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60x+6000.例2某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？当时,6052(18)3x即定价57.5元时，最大利润是6050元.即：y=-18x2+60x+6000，25518()6060006050.33y由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.w=[12+2(x－1)][80－4(x－1)]=(10+2x)(84－4x)=－8x2+128x+840=－8(x－8)2+1352.例3一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是.28m32.如图2，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图23当堂练习3.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解:(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为9×1000=9000（元）4.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30)出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为元.255.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为.每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为.(以上关系式只列式不化简）.y=2000-5(x-100)w=[2000-5(x-100)](x-80)y=(160+10x)(120-6x)6.某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查，如果一间客房日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间，则当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.=－60(x－2)2+19440.∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元).7.某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75∵-10,对称轴x=10,∴当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元.课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量≥0；降件：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.