九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=ax2+b

二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质学习目标1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）导入新课复习引入y=a(x-h)2+ka0a0开口方向顶点坐标对称轴增减性极值向上向下(h,k)(h,k)x=hx=h当xh时，y随着x的增大而减小；当xh时，y随着x的增大而增大.当xh时,y随着x的增大而增大；当xh时，y随着x的增大而减小.x=h时,y最小=kx=h时,y最大=k抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.顶点坐标对称轴最值y=-2x2y=-2x2-5y=-2(x+2)2y=-2(x+2)2-4y=(x-4)2+3y=-x2+2xy=3x2+x-6(0,0)y轴0(0,-5)y轴-5(-2,0)直线x=-20(-2,-4)直线x=-2-4(4,3)直线x=43??????讲授新课二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质一探究归纳我们已经知道y=a(x-h)2+k的图像和性质，能否利用这些知识来讨论的图像和性质？216212yxx问题1怎样将化成y=a(x-h)2+k的形式？216212yxx216212yxx配方可得2221(126642)2xx21(1242)2xx2221[(126)642]2xx21[(6)6]2x21(6)3.2x想一想：配方的方法及步骤是什么？配方216212xxy你知道是怎样配方的吗？(1)“提”：提出二次项系数；(2)“配”：括号内配成完全平方；(3)“化”：化成顶点式.提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.3)6(212xy问题2你能说出的对称轴及顶点坐标吗？21(6)32yx答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.问题3二次函数可以看作是由怎样平移得到的？21(6)32yx212yx答：平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.问题4如何用描点法画二次函数的图像？216212yxx…………9876543x解:先利用图形的对称性列表21(6)32yx7.553.533.557.5510xy510然后描点画图，得到图像如右图.O问题5结合二次函数的图像，说出其性质.216212yxx510xy510x=6当x6时，y随x的增大而减小；当x6时，y随x的增大而增大.O例1画出函数的图像，并说明这个函数具有哪些性质.21522yxxx···-2-101234···y······-6.5-4-2.5-2-2.5-4-6.5解:函数通过配方可得，先列表：21522yxx21(1)22yx典例精析2xy-204-2-4-4-6-8然后描点、连线，得到图像如下图.由图像可知，这个函数具有如下性质：当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.2287yxx22(44)87xx22(4)7xx22(2)1.x因此，二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).解：练一练将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？y=ax²+bx+ccababxabxa2222222222bbbaxxcaaacababxa4222归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即2224().24bacbyaxbxcaxaa因此，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是：对称轴是：直线24(,).24bacbaa.2bxa归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(1)(2)xyOxyO如果a0,当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大.如果a0,当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小.2bxa2bxa2ba2ba2ba2ba例2已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A．b≥－1B．b≤－1C．b≥1D．b≤1解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴，即b≤1，故选择D.2(1)bxbD填一填顶点坐标对称轴最值y=-x2+2xy=-2x2-1y=9x2+6x-5(1,3)x=1最大值1(0,-1)y轴最大值-1最小值-6(,-6)13直线x=13二次函数字母系数与图像的关系三合作探究问题1一次函数y=kx+b的图像如下图所示，请根据一次函数图像的性质填空：xyOy=k1x+b1xyOy=k2x+b2y=k3x+b3k1___0b1___0k2___0b2___0＞＞＜＜k3___0b3___0＜＞xyO222bxa112bxa问题2二次函数的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：2yaxbxca1___0b1___0c1___0a2___0b2___0c2___0＞＞＞＞＜＝开口向上，a＞0对称轴在y轴左侧，x＜0对称轴在y轴右侧，x＞01102bxa＜2202bxa＞x=0时，y=c.xyO442bxa332bxaa3___0b3___0c3___0a4___0b4___0c4___0＜＝＞＜＞＜开口向下，a＜0对称轴是y轴，x=0对称轴在y轴右侧，x＞011=02bxa2202bxa＞x=0时，y=c.二次函数y=ax2+bx+c的图像与a、b、c的关系字母符号图像的特征a＞0开口_____________________a＜0开口_____________________b=0对称轴为_____轴a、b同号对称轴在y轴的____侧a、b异号对称轴在y轴的____侧c=0经过原点c＞0与y轴交于_____半轴c＜0与y轴交于_____半轴向上向下y左右正负知识要点例3已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4D由图像上横坐标为x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；由图像上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图像上x＝－1的点在第二象限得出a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．【解析】由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；由对称轴x－1可得2a－b＜0，故②正确；练一练二次函数的图像如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图像是（）2yaxbxcayxybx解析：由二次函数的图像得知：a＜0，b＞0.故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限.即正确答案是C.C1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=则该二次函数图像的对称轴为()D当堂练习5232Oyx–1–232.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3）4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是.直线x=1（2）3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c0；③a-b+c=-9a；④若（-3，y1）,（，y2）是抛物线上两点，则y1y2.其中正确的是（）23A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④xyO2x=-1B4.根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：22(1)21213;(2)580319;1(3)22;2(4)12.yxxyxxyxxyxx直线x=33,5直线x=88,1直线x=1.2559,48直线x=0.519,24课堂小结24(,)24bacbaa2bxa顶点：对称轴：y=ax2+bx+c（a≠0)(一般式)配方法公式法(顶点式)224()24bacbyaxaa