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二次函数什么是函数？在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．二次函数y=kx+b(k≠0)y=kx(k≠0)一次函数变量之间的关系函数反比例函数正比例函数y=(k≠0)kx某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（2）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．解：（2）果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（3）因此果园橙子的总产量：y=(100+x)(600-5x)=－5x²+100x+60000银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．做一做分析：本息和=本金+本金×利率×期数设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)．y=100(x+1)²解：两年后本息和为：一年后本息和=100+100x=100(x+1)．=100x²+200x+100思考：观察：y=－5x²+100x+60000y=100x²+200x+100这两个函数解析式有什么共同点？一般地,形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．提示：(1)关于x的代数式一定是整式；(2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不等于零．定义：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的几种特殊情况：(1)y=ax²(a≠0，b=0，c=0)；(2)y=ax²+c(a≠0，b=0，c≠0)；(3)y=ax²+bx(a≠0，b≠0，c=0)．正方形的面积S与边长a的关系S=a2；圆的面积S与半径r的关系S=πr2等都是二次函数的例子．(1)y=x²+x³+25；下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数？1.；xx21(2)+=y(4)y=3(x-1)²+1．(3)s=1+t+5t²；解：(3)，(4)是二次函数．=3x²-6x+4.关于x的函数是二次函数，求m的值．解：因为该函数为二次函数,2．注意:二次函数的二次项系数不能为零.解①得:m=1或－1；解②得:m≠－1；所以m=1．则m2+1=2①m+1≠0②y=(m+1)xm2+13.在一次朋友聚会中，只有n个人参加，如果每两个人握一次手，凡握过的不再重握，试写出握手的总次数m与人数n之间的关系.分析：每两个人握一次手，意味着每一个人都和其他的(n-1)个人握手，这样共握手n(n-1)次.由于握过的不再重握，则最后握手的总次数为n(n-1)2解：m==n2-nn(n-1)22121下列函数中:1.(4)y=(x+3)²-x²(3)y=2²+2x(1)y=+3x²12(2)v=10πr²=x²+6x+9-x²=6x+9是二次函数的是．分析:(4)y=(x+3)²-x²(1)、(2)若y=(a２-1)x２是关于x的二次函数，则a的取值范围是．a≠±1分析:∵二次项系数不等于零，∴a２-1≠0∴a≠±12.3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是，是自变量，是函数，S是a的函数．-a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a602分析：S=a(S=-a²+30aaS二次如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k的值一定是()A.3B.0C.3或0D.任意实数B分析：由二次函数定义得，232kkx由①得，k=0或3由②得，k≠3∴k=0k2-3k+2=2①k-3≠0②4.选择题：(2)当圆的半径分别增加1cm，cm，2cm时,圆的面积增加多少？圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm²．5．2解:(1)y=π(x+1)2-π×12=πx²+2πx(1)写出y与x之间的关系表达式；当x=2时，y=π×2²+2π×2=8π(cm2)解：(1)y=π(x+1)2-π×12=πx²+2πx(2)当x=1时，y=π×1²+2π×1=3π(cm2)当x=时，y=π×()²+2π×=2(1+)π(cm2)22221.物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度：t/s12345h/m4.919.644.178.4122.5某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.(1)长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如何表示?2.解:(1)S=2[x·x+x(x+0.5)+x(x+0.5)]=6x2+2x某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多0.5m.(2)如果涂漆每平方米所需要的费用是5元,油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示,那么y的表达式是什么?2.解:(2)y=5（6x2+2x)=30x2+10x这节课你有哪些收获呢？一般地,形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．y=ax²+bx+c(a≠0)二次函数y=kx+b(k≠0)y=kx(k≠0)一次函数变量之间的关系函数反比例函数正比例函数y=(k≠0)kx（湖北荆门）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．假设每件商品降低x元，商店每天销售这种小商品的利润是y元，请写出y与x的之间的函数关系式，并注明x的取值范围．（湖北荆门）某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．解：降低x元后，所销售的件数是即y=－100x2+600x+5500（0＜x≤11）y=(13.5-x-2.5)(500+100x)(500+100x)，（四川绵阳）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m、120m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3xm、2xm．解:S=3x·200+2x·120×2－2×3x·2x=－12x2+1080x(1)设三条通道的总面积S，写出S与x的函数关系式.（四川绵阳）如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m、120m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3xm、2xm．(2)当通道总面积为花坛总面积的时，求横、纵通道的宽分别是多少？12511×200×120∵S=∴－12x2+1080x=又x＞0，3x＜120，4x＜200解得x=2或x=88解得0＜x＜40∴x=2，得横、纵通道的宽分别是6m、4m．得x2－90x+176=0解:（2）1251112511×200×120