九年级数学下册 第二章二次函数4 二次函数y=ax2+bx+c的图象第2课时二次函数y=ax2+bx

4二次函数y=ax2+bx+c的图象第2课时1.会推导二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式,并利用此解决一些问题.(重点)2.用配方法推导y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式.(难点)用配方法把y=ax2+bx+c化成y=a(x+h)2+k的形式，y=ax2+bx+c________________________________________________222a(x)bca[x2x]2aaa(x).bxaca2b()2a2b()2ab2a24acb4a【总结】1.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标：二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______,对称轴是直线x=____,顶点坐标是______________.抛物线b2a2b4acb(,)2a4a2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质:函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图象a0a0开口方向向___向___对称轴顶点坐标_________________________上下bx2a直线bx2a直线2b4acb(,)2a4a2b4acb(,)2a4a增减性在对称轴的左侧，即当时，y随着x的增大而_____.在对称轴的右侧，即当时，y随着x的增大而_____在对称轴的左侧，即当时，y随着x的增大而_____.在对称轴的右侧，即当时，y随着x的增大而_____最值当时，y有最___值为______当时，y有最___值为________bx2a减小bx2a增大bx2a增大bx2a减小bx2a小24acb4abx2a大24acb4a(打“√”或“×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c的对称轴与c的值无关.()(2)当a0时,二次函数y=ax2+bx+c有最小值.()(3)二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(0,c).()(4)二次函数y=2(x-2)2+3的最小值是2.()√×√×知识点1y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标及其性质【例1】(2012·徐州中考)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(1)求b,c的值.(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.【思路点拨】(1)把已知点的坐标代入表达式,然后解关于b,c的二元一次方程组即可.(2)通过配方把函数表达式转化为y=a(x-h)2+k的形式,即可确定顶点坐标与对称轴.(3)通过描点法画出图象即可.【自主解答】(1)由题意得(2)由(1)知函数表达式是y=x2－4x+3，可化为y=(x－2)2－1，∴其顶点坐标是(2，－1)，对称轴为直线x＝2．164bc3b493bc0c3.，－，解得，(3)如图所示:【总结提升】确定二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的“两种方法”和“两点注意”两种方法:(1)利用配方法把y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式.(2)直接代入公式求解.两点注意:(1)使用配方时,要和解方程时的配方法区别开,把二次项系数化为1时,要提取a,而不能除以a.(2)使用公式法时,要找准a,b,c的值.2b4acbxy2a4a－－，知识点2抛物线y=ax2+bx+c与a,b,c的关系【例2】如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a0;②2a+b=0;③a+b+c0;④当-1x3时,y0.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解题探究】1.由抛物线的图象开口向下，可知a___0.2.由抛物线和x轴的两个交点(-1，0)，(3，0)，确定抛物线的对称轴是多少？提示：抛物线的对称轴是3.由抛物线的对称轴方程确定a与b的关系.提示：∵抛物线的对称轴是x=1,即∴2a+b=0.＜13x1.2b12a－，4.观察图象可知,当x=1时,y=a+b+c__0.5.观察图象可知,当-1x3时,函数图象在x轴上方,∴y__0.6.由以上探究可知,正确的是_______,故选__.②③④C【总结提升】二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的符号关系字母符号图象的特征a0开口向上a0开口向下b=0对称轴为y轴ab0对称轴在y轴左侧ab0对称轴在y轴右侧c=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交题组一:y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标及其性质1.二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)【解析】选B.∵y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).2.(2013·内江中考)若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),则下列说法不正确的是()A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线x=1C.当x=1时y的最大值为-4D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0)【解析】选C.由y＝x2－2x+c知a＞0，所以抛物线的开口向上，选项A正确；对称轴是直线选项B正确．因为抛物线开口向上，所以抛物线有最低点，因此y有最小值，选项C不正确；将(0，－3)代入y＝x2－2x+c得c＝－3，所以抛物线表达式为y＝x2－2x－3，解方程x2－2x－3＝0得x＝3或－1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，选项D正确．b2x12a21－＝－＝－＝，3.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1x21,则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B.y1y2C.y1≥y2D.y1y2【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x1时,y随着x的增大而增大;∵x1x21,∴点A,点B在对称轴的左侧,∴y1y2.4.当x=时,二次函数y=x2+2x-2有最小值.【解析】∵y=x2+2x-2=x2+2x+1-3=(x+1)2-3,∴当x=-1时,二次函数y=x2+2x-2有最小值-3.答案:-1【变式备选】二次函数y=x2+2x-5有()A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6【解析】选D.y=x2+2x-5为二次函数的一般形式,a=10,所以有最小值;配方得y=(x+1)2-6,所以最小值为-6,也可由顶点坐标公式得到最小值为-6.5.当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由.若有,请求出最大值.【解析】当k=-1时,函数为y=-2x2-4x+6,配方,得y=-2(x+1)2+8,∵二次项系数-20,∴函数有最大值,当x=-1时,y的最大值为8;当k=1时,函数为y=-4x+4,是一次函数,无最大值;当k=2时,函数为y=x2-4x+3,∵二次项系数10,∴二次函数开口向上,无最大值.题组二:抛物线y=ax2+bx+c与a,b,c的关系1.(2013·呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是()【解析】选D.选项A中一次函数中的m＜0，而抛物线中的m＞0，故此项错误；选项B中一次函数中的m＜0，而由抛物线的对称轴可知m＞0，故此项错误；选项C中一次函数中的m＞0，而由抛物线的开口向上得-m＞0，则m＜0，故此项错误；排除A，B，C，故选D.b21x02a2mm，2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为下列结论中，正确的是()A.abc0B.a+b=0C.2b+c0D.4a+c2b1x.2【解析】选D．观察图象可知，a＞0,c＜0,由对称轴可知b＞0,所以abc＜0；由对称轴可知解得a=b；由对称轴可知，抛物线上横坐标为1的点与横坐标为-2的点关于对称轴对称，由图象可知，当x=1时，函数值小于0，把x=-2代入y=ax2+bx+c(a≠0)可得，4a-2b+c＜0,即4a+c2b．b12a2，【高手支招】(1)对于二次函数y=ax2+bx+c,当横坐标x=1时,若图象上的对应点在x轴的上方,则y=a+b+c0;当x=1时,若图象上的对应点在x轴上,则y=a+b+c=0;当x=1时,若图象上的对应点在x轴下方,则y=a+b+c0.(2)对于二次函数y=ax2+bx+c,当横坐标x=-1时,若图象上的对应点在x轴的上方,则y=a-b+c0;当x=-1时,若图象上的对应点在x轴上,则y=a-b+c=0;当x=-1时,若图象上的对应点在x轴下方,则y=a-b+c0.3.(2013·巴中中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A.ac0B.当x1时,y随x的增大而减小C.b-2a=0D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根【解析】选D.∵a＞0，c＜0,∴ac＜0,A错；当x＞1时，y随x的增大而增大，B错；C错；∵抛物线过(3,0)，∴D正确.b1b2a0,2a，4.(2013·宁波中考)如图，二次函数y=ax2+bc+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过(3，0)，下列结论中正确的一项是()A.abc0B.2a+b0C.a-b+c0D.4ac-b20【解析】选D.根据题干图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．抛物线的对称轴则b＜0．抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，所以abc＞0，故A选项错误；∴2a+b=0，故B选项错误；bx102a＞，bx1b2a2a，，∵对称轴为直线x=1，图象经过(3，0)，∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是(-1，0)，∴当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，故C选项错误；根据题干图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则Δ=b2-4ac＞0，则4ac-b2＜0，故D选项正确.【想一想错在哪？】已知函数y=-2x2+mx+m的图象如图所示,且OA=OC,求m的值.提示:C在y轴的正半轴上,A在x轴的负半轴上,当点C的坐标为(0,m)时,点A的坐标应为(-m,0).