搜索
8二次函数与一元二次方程1.理解二次函数与一元二次方程的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.(重点)2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.(难点)1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况2_______________1_______________0_________两个不等实数根两个相等实数根无实数根2.一元二次方程的图象解法.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的_______就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___.横坐标根3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法.(1)先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.(2)确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间.(3)列表,在(2)中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程的近似根.(打“√”或“×”)(1)抛物线与y轴不一定有交点.()(2)抛物线y=x2-x与x轴只有一个交点.()(3)利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确值.()(4)如果抛物线的顶点在x轴上,那么抛物线与x轴有一个交点.()×××√知识点1二次函数与一元二次方程的关系【例1】(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1,x2.求证:x1+x2=-p,x1·x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A,B两点,且过点(-1,-1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.【思路点拨】(1)先根据求根公式得出x1,x2的值,再求出两根的和与积.(2)把点(-1,-1)代入抛物线的表达式,用p表示出q,若设A(x1,0),B(x2,0),则再由d2=(x1-x2)2,得到d2与p的函数关系,即可得出结论.【自主解答】(1)即2pp4qa1bpcqx2，，，，2212pp4qpp4qxx22，，2212pp4qpp4qxxp22－，2212pp4qpp4qxxq.22(2)把(-1,-1)代入y=x2+px+q得p-q=2,q=p-2,设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A,B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),∴由d=|x1-x2|可得d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=p2-4q=p2-4p+8=(p-2)2+4,∴当p=2时,d2的最小值是4.【总结提升】二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系1.b2-4ac0⇔抛物线与x轴有2个交点⇔方程有两个不相等的实数根.2.b2-4ac=0⇔抛物线与x轴有1个交点⇔方程有两个相等的实数根.3.b2-4ac0⇔抛物线与x轴没有交点⇔方程没有实数根.知识点2利用函数图象求一元二次方程的近似根【例2】利用二次函数的图象求一元二次方程4x2-8x+1=0的近似根.(精确到0.1)【解题探究】(1)一元二次方程4x2-8x+1=0的根是哪个二次函数与x轴的交点的横坐标?提示:是y=4x2-8x+1与x轴的交点的横坐标.(2)请作出(1)中的二次函数的图象.提示:作图如下,(3)观察图象,方程根的个数和大致范围是什么?提示:方程有两个根,一个在0和1之间,一个在1和2之间.(4)请借助计算器探索并确定方程的解是什么.提示:由图象可知方程的近似根是x1=0.1,x2=1.9.x…0.10.2…y…0.24-0.44…x…1.81.9…y…-0.440.24…【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”题组一:二次函数与一元二次方程的关系1.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是()A.3B.2C.1D.0【解析】选A.令x=0,解得:y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,4).∵b2-4ac=490,∴抛物线与x轴有2个交点,综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3.【变式备选】已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k4B.k≤4C.k4且k≠3D.k≤4且k≠3【解析】选B.①当k-3≠0时,方程为(k-3)x2+2x+1=0,∴b2-4ac=22-4(k-3)×1=-4k+16≥0,∴k≤4;②当k-3=0时,y=2x+1,与x轴有交点.2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是()A.-1x5B.x5C.x-1且x5D.x-1或x5【解析】选D.观察图象可知抛物线对称轴为x=2,且与x轴的一个交点为(5,0),依据对称性可知,抛物线与x轴另一交点坐标为(-1,0).二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的开口向下,所以不等式ax2+bx+c0的解集是x-1或x5.3.(2012·兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k-3B.k-3C.k3D.k3【解析】选D.根据题意y=|ax2+bx+c|的图象如图所示:∴当|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根时,k3.4.(2013·苏州中考)已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是()A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=3【解析】选B.∵二次函数的表达式是y=x2-3x+m(m为常数),∴该抛物线的对称轴是又∵二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),∴根据抛物线的对称性质知,该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2,0),∴关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根分别是x1=1,x2=2.3x.25.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点.(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.【解析】(1)当x=0时,y=1.所以不论m为何值,函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上的一个定点(0,1).(2)①当m=0时,函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点;②当m≠0时,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根,所以(-6)2-4m=0,m=9.综上可知,若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.题组二:利用函数图象求一元二次方程的近似根1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=()A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3【解析】选D.∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1，-3.2)，∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，又∵x1=1.3，∴x1+x2=1.3+x2=-2，∴x2=-3.3.bb122aa－－，－－，12bxxa－，2.小亮通过观察二次函数y=2x2+2x-1的图象,发现它与x轴的两个交点一个在-1和-2之间,另一个在0和1之间.并用计算器进行探索,得到下表,由此可知方程2x2+2x-1=0的一个近似根是()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4x0.10.20.30.4y-0.78-0.52-0.220.12【解析】选D.由题意可知方程2x2+2x-1=0的根一个在-1和-2之间,另一个在0和1之间.当x由0.1向0.3变换过程中y值一直在增大,并越来越接近0,当x=0.4时,y值大于0,则方程的一个根在0.3和0.4之间,x=0.4时的y值比x=0.3时更接近0,所以方程的一个近似根为0.4.3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.160;当x=-5.9时,y=0.410.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近似值是.(精确到0.1)【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,y=-0.160;当x=-5.9时,y=0.410.所以方程x2+6x+1=0的一个根的近似值是-5.8.答案:-5.84.利用函数图象求得方程2x2-6x+3=0的近似根是.(精确到0.1)【解析】∵方程2x2-6x+3=0的根就是函数y=2x2-6x+3的图象与x轴的交点的横坐标,y=2x2-6x+3的图象如图所示:∴方程2x2-6x+3=0的近似根是x1=2.4,x2=0.6.答案:x1=2.4,x2=0.65.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象.(2)根据方程的根与函数图象之间的关系,将方程x2-2x-1=0的根在图上近似地表示出来.(描点)(3)观察图象,直接写出方程x2-2x-1=0的根.(精确到0.1)【解析】(1)(2)如图.(3)xM=-0.4,xN=2.4.【想一想错在哪？】已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有两个公共点,求k的取值范围.提示:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点时,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,此时b2-4ac0.