九年级数学下册 第二章二次函数 1 二次函数所描述的关系习题课件 北师大版

第二章二次函数1二次函数所描述的关系1.理解二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系.(重点)2.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.(难点)请完成以下各题：1.正方形的面积y与边长x之间的关系是y=__.2.三角形的一边是这边上高的2倍，设三角形这条边的长为x，面积为y，则y关于x的关系式为y=_____.x221x43.在半径为4cm的圆中，挖去一个边长为xcm的正方形，剩下部分的面积为ycm2，则y关于x的关系式为y=_______.16π-x2【思考】1.上面各题中的函数关系式有什么共同特点？提示：这些函数关系式是用自变量的二次式表示的.2.请你归纳出这一类函数的一般形式是什么？提示：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).【总结】1.二次函数的定义：一般地，形如_____________________________的函数，叫做x的二次函数，其中x是自变量.2.相关概念：__是二次项系数，__是一次项系数，__是常数项.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)abc(打“√”或“×”)(1)y=ax2是二次函数.()(2)二次函数可以不含常数项.()(3)函数不是二次函数.()(4)长方形的长是宽的2倍，设长方形的宽为x,面积为y，则y关于x的关系式为y=2x2.()×√×2y3xx1√知识点1二次函数的定义【例1】已知是关于x的二次函数，求出它的表达式．【思路点拨】先由二次函数的定义确定m的值，进而确定二次函数的表达式．22m2m12ymmxm3xm－－－【自主解答】根据二次函数的定义知m应满足的条件是解得：∴m=3，∴y=12x2+9．22m2m12mm0－－，，m3m1m0m1或－，且－，【总结提升】判断一个函数是否是二次函数的“三步法”知识点2列二次函数表达式【例2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2∶1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米，求y与x之间的关系式．【解题探究】1.镜子的宽度是x米时，镜面玻璃的费用是多少？提示：∵镜面玻璃的面积是2x·x=2x2，∴镜面玻璃的费用是120×2x2=240x2.2.边框的费用如何表示？提示：边框的费用为2(2x+x)×30=180x.3.总费用y元由哪几部分组成？提示：总费用y元由镜面玻璃的费用、边框的费用及加工费三部分组成．4.由以上探究可知y与x之间的关系式为y=_____________．240x2+180x+45【互动探究】如果制作这面镜子共花了195元，那么这面镜子的长和宽分别是多少？提示：由y=195可得240x2+180x+45=195，解得x1=0.5，x2=-1.25(舍去)，∴x=0.5，2x=1，∴镜子的长和宽分别是1米和0.5米.【总结提升】实际问题中建立二次函数关系式的“三步法”题组一：二次函数的定义1.下列函数中,是二次函数的是()【解析】选C.选项A，B不是整式方程，D选项变形为y=-4x+4,自变量x的最高次数不是2.22221A.y2xxB.y2x4x1C.yxx1D.yx2x2－－－－－2.下列函数：①y=1－x2,②y=2(x－1)2+4，③y=(x－1)(x+4)，④y=3x2+x(1－3x)中二次函数的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.①②③是二次函数，④y=3x2+x(1－3x)变形为y=x，是一次函数.∴二次函数有3个.3.已知函数y=(2－k)x2+x是二次函数,则k______.【解析】∵y=(2－k)x2+x是二次函数，∴2-k≠0，∴k≠2.答案：≠24.若函数y=(4－m2)x3+(m+2)x2是二次函数，则m=______.【解析】根据题意，由4-m2=0，得m=±2，又∵m+2≠0，得m≠-2，∴m=2．答案：25.已知函数y=(m2-1)x2+(m+1)x+5.(1)当m为何值时,此函数是关于x的二次函数?(2)当m为何值时,此函数是关于x的一次函数?【解析】(1)由函数是关于x的二次函数,得m2-1≠0,即m≠±1,所以当m≠±1时,此函数是关于x的二次函数.(2)由函数是关于x的一次函数,得∴m＝1,所以当m＝1时,此函数是关于x的一次函数.2m10m10，，【名师点拨】函数y=ax2+bx+c与a,b之间的关系(1)当a≠0时，y＝ax2+bx+c是二次函数.(2)当a＝0且b≠0时，y＝ax2+bx+c是一次函数.(3)当a＝0且b=0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数也不是一次函数.题组二:列二次函数表达式1.半径是2的圆,如果它的半径增加3x,则面积S与x之间的关系式是()A.S=2π(3x+2)2B.S=4π+3xC.S=9πx2+12x+4D.S=9πx2+12πx+4π【解析】选D.S=π(3x+2)2=9πx2+12πx+4π.2.某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分数都是x,那么y与x的函数关系式是()A.y=x2+aB.y=a(x-1)2C.y=a(1-x)2D.y=a(1+x)2【解析】选D.增长一年后的生产利润是a(1+x),增长两年后的生产利润y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2.3.在边长为10cm的正方形中间剪去一个边长为xcm(x10)的小正方形,剩下的方框的面积为y,则y与x之间的函数关系式是.【解析】∵剩下的方框的面积=边长为10cm的正方形面积-边长为xcm的小正方形的面积,∴y=100-x2=-x2+100.答案:y=-x2+1004.用一根长为10m的木条,做一个长方形的窗框,若长为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系式为.【解析】∵木条的长为10m,窗框的长为xm,∴窗框的宽为(5-x)m,∴该窗户的面积y=x(5-x)=-x2+5x.答案:y=-x2+5x【高手支招】由几何问题列二次函数表达式的技巧1.一般步骤:(1)用含自变量的代数式表示出相关的量.(2)由题目中的等量关系得出函数表达式.2.常用的等量关系:(1)几何图形的面积公式.(2)勾股定理.(3)相似图形的有关性质.5.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B,C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=45°.(1)求证:△ABD∽△DCE.(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式.【解析】(1)∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,∴∠B=∠C=45°.∴∠BDA+∠BAD=135°,∵∠ADE=45°,∴∠BDA+∠CDE=135°.∴∠BAD=∠CDE.∴△ABD∽△DCE.(2)∵△ABD∽△DCE，即ABBD.CDCEBDx,CDBCBD2x.21x,CE2xx.CE2x22AEACCE1(2xx)x2x1.2yx2x1.【想一想错在哪？】当m为何值时，是关于x的二次函数？提示：判断一个函数是否是二次函数，要注意其二次项系数a是否为零.2m3m2ym1x－－