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§29.2反证法课题学习:中点四边形1.体会反证法的含义.（重点）2.理解反证法是一种间接证明命题的方法.（重点）3.掌握用反证法证明一个命题的方法与步骤.（重点、难点）4.使学生了解中点四边形的概念,并能探究一个四边形的中点四边形的形状．（重点、难点）1.反证法：(1)概念:证明命题时,不是直接从题设推出结论,而是从命题结论的_____出发,引出_____,从而证明命题成立的方法.(2)证明命题的一般步骤:①假设结论的反面是_____的;②通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾;③由矛盾说明假设_______,从而得到_______正确.反面矛盾正确不成立原结论2.中点四边形：(1)概念:顺次连结四边形的各边_____所组成的四边形.(2)性质:中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半,且与相应对角线平行.中点(打“√”或“×”)(1)用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b”时,应假设a=b.()(2)顺次连结两条对角线相等的四边形四边的中点得到的四边形是菱形.()(3)顺次连结对角线垂直的四边形各边中点所得到的四边形是正方形.()(4)顺次连结平行四边形各边中点所得到的四边形是矩形.()√√××知识点1反证法【例1】用反证法证明：四边形中至少有一个角是钝角或直角．【思路点拨】根据题设与结论，写出已知、求证，然后按反证法的步骤进行证明．【自主解答】已知：四边形ABCD．求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．证明：假设四边形ABCD中没有一个角是钝角或直角，则∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，∠D＜90°，于是∠A+∠B+∠C+∠D＜90°×4=360°．这与四边形内角和是360°相矛盾，所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角．【总结提升】适用反证法证明的命题的特点1.结论本身是以否定形式出现的一类命题.2.有关结论是以“至多……”或“至少……”的形式出现的一类命题.3.关于唯一性、存在性的问题.4.结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题.知识点2中点四边形【例2】（2013·恩施中考）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,E,F,G,H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形.【思路点拨】连结梯形的两条对角线，利用等腰梯形的对角线相等及三角形中位线定理证明四边形EFGH是菱形.【自主解答】连结AC，∵G，H分别是DC，AD的中点，同理可得EF∥AC，∴GH∥EF,连结BD，同理可得EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.在梯形ABCD中，AB=CD，∴AC=BD，∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形.1GHACGHAC2，，1EHFGBD2，1EFAC2，1GHEFAC,2【总结提升】用对角线判断中点四边形1.如果原四边形的对角线既不相等也不垂直,则其中点四边形为平行四边形.2.如果原四边形对角线互相垂直,则其中点四边形为矩形,如菱形的中点四边形是矩形.3.如果原四边形对角线相等,则其中点四边形为菱形,如矩形的中点四边形是菱形.4.如果原四边形对角线互相垂直且相等,则其中点四边形为正方形,如正方形的中点四边形是正方形.题组一：反证法1.用反证法证明“a＞b”时应假设()A.a＞bB.a＜bC.a=bD.a≤b【解析】选D.a，b的大小关系有a＞b，a＜b，a=b三种情况，因而a＞b的反面是a≤b．因此用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b.2.证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题可举反例的数字为()A.3B.4C.8D.6【解析】选D.因为3不是偶数,不符合条件,故错误；4是偶数,且能被4整除,故错误；8是偶数,且是4的2倍,故错误；6是偶数,但是不能被4整除,故选D.3.用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD,AB∥EF,那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是()A.假定CD∥EFB.假定CD不平行于EFC.已知AB∥EFD.假定AB不平行于EF【解析】选B.∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF，∴证明的第一步应是：从结论的反面出发，假设CD不平行于EF.4.已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b．证明：假设________，则(________)，这与_________相矛盾，所以__________不成立，所以a不平行b.【解析】假设a平行b，则∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），这与∠1≠∠2相矛盾，所以假设不成立，所以a不平行b．答案：a平行b∠1=∠2两直线平行，同位角相等∠1≠∠2假设5.用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角，证明时应假设_______.【解析】同一三角形中至少有两个锐角的反面是同一三角形中最多有一个锐角.答案：同一三角形中最多有一个锐角题组二：中点四边形1.（2013·张家界中考）顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形一定是()A.矩形B.正方形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.如图连结AC，BD，∵E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点，∴EFBD，GHBD,∴EFGH,∴四边形EFGH是平行四边形.又∴EF=GF，∴四边形EFGH是菱形.1GFACACBD2，且，12122.若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形【解析】选C.顺次连结任意四边形ABCD各边的中点所得四边形一定是平行四边形，若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是对角线互相垂直的四边形.3.（2013·泉州中考）如图，顺次连结四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状一定是__________.【解析】连结BD，因为点E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，同理，FG∥BD，所以EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形.答案：平行四边形1EHBD2且，1FGBD2且，4.（2013·珠海中考）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连结正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，又顺次连结正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2,…依次类推，则第六个正方形A6B6C6D6的周长是_________.【解析】第一个正方形A1B1C1D1的周长为第二个正方形A2B2C2D2的周长为第六个正方形A6B6C6D6周长是答案：422,2222,2641.22（）125.如图，依次连结矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH．（1）四边形EFGH是_______．（2）证明你的结论．【解析】（1）四边形EFGH是菱形（2）连结BD，AC．∵矩形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，∴AC=BD，EF=AC，EF∥AC，GH=AC，GH∥AC，FG=BD，FG∥BD，EH=BD，EH∥BD，∴EF=FG=GH=EH，∴四边形EFGH是菱形.12121212【想一想错在哪？】已知abc≠0，求证：a，b，c三个数全不等于0.提示：不能正确地作出假设，而出现错误！