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§29.2反证法课题学习中点四边形1.叙述反证法的概念证明命题时,不是直接从题设推出结论,而是从命题结论的_____出发,引出_____,从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证法反面矛盾2.总结反证法证明命题的一般步骤(1)假设结论的_____是正确的；(2)通过逻辑推理,推出与公理、已证的定理、定义或已知条件_______；(3)由矛盾说明假设_______,从而得到_______正确.反面相矛盾不成立原结论3.中点四边形顺次连结任意四边形各边的_____所组成的四边形称为中点四边形．【点拨】中点四边形的每条边都是原四边形对角线的一半,且与相应的对角线平行．中点反证法【例1】(8分)已知：△ABC中,AB＝AC，求证：∠B,∠C必为锐角.易错提醒:∠B与∠C必为锐角的反面是两角为直角或钝角！【规范解答】∵AB＝AC,∴∠B=∠C,…………………………………………1分假设∠B,∠C不是锐角,则可能有两种情况：∠B=∠C=90°或∠B=∠C＞90°.……………………………3分(1)若∠B=∠C=90°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°,这与三角形内角和定理矛盾.…………………………………………………5分(2)若∠B=∠C＞90°,则∠A＋∠B＋∠C＞180°,这与三角形内角和定理矛盾.……………………………………………7分所以假设不能成立.故∠B,∠C必为锐角.……………………8分【规律总结】适宜使用反证法的四种情况1.结论本身是以否定形式出现的一类命题；2.有关结论是以“至多……”或“至少……”的形式出现的一类命题；3.关于唯一性,存在性的问题；4.结论的反面是比原结论更具体更容易研究的命题．【跟踪训练】1.用反证法证明“若⊙O的半径为r,点P与圆心的距离d大于r,则点P在⊙O的外部”.首先应假设()(A)d＜r(B)点P在⊙O外(C)d≤r(D)点P在⊙O上或点P在⊙O内【解析】选D.命题“若⊙O的半径为r,点P与圆心的距离d大于r,则点P在⊙O的外部”的结论为：点P在⊙O的外部.若用反证法证明该命题,则首先应假设命题的结论不成立,即点P在⊙O上或点P在⊙O内.【高手支招】反证法证明问题的关键是正确作出假设,并找到合理的矛盾之处；有些命题的反面不止一种情况,证明时应考虑全面,并分别推出矛盾．2.用反证法证明“若|a|≠|b|,则a≠b.”时,应假设________.【解析】a,b的等价关系有a=b,a≠b两种情况,因而a≠b的反面是a=b,因此用反证法证明“a≠b”时,应先假设a=b．答案：a=b中点四边形【例2】已知：如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,AB,BC,CD,DA的中点分别为P,Q,M,N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论.【解题探究】1.试说明MN和PQ的关系.答：平行且相等.理由如下：如图,连结AC，BD.∵PQ为△ABC的中位线,∴PQAC.同理MNAC.∴MNPQ．2.由①知MNPQ,∴四边形PQMN为平行四边形．1212__________3.AC和BD相等吗？为什么？答：AC和BD相等,在△AEC和△DEB中,∵∠AED=∠CEB=60°,∴∠AED+∠DEC=∠CEB+∠DEC,即∠AEC=∠DEB.又∵AE=DE,EC=EB,∴△AEC≌△DEB，∴AC＝BD．4.MN和PN相等吗？为什么？答：MN和PN相等,由①知MN=AC，同理可证PN=BD,由③知AC＝BD,∴MN=PN.5.结论：由②④可知四边形PQMN为菱形．1212【规律总结】用对角线判断中点四边形1.如果原四边形的对角线既不相等也不垂直,则其中点四边形为平行四边形；2.如果原四边形对角线互相垂直,则其中点四边形为矩形,如菱形的中点四边形是矩形；3.如果原四边形对角线相等,则其中点四边形为菱形,如矩形的中点四边形是菱形；4.如果原四边形对角线互相垂直且相等,则其中点四边形为正方形,如正方形的中点四边形是正方形.【跟踪训练】3.(2011·张家界中考)顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形一定是()(A)平行四边形(B)矩形(C)菱形(D)正方形【解析】选A.根据“顺次连结任意一个四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形”可知选A.4.(2011·宜昌中考)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则下列结论一定正确的是()(A)∠HGF=∠GHE(B)∠GHE=∠HEF(C)∠HEF=∠EFG(D)∠HGF=∠HEF【解析】选D.因为点E,F,G,H分别是等腰梯形的AB,BC,CD,DA的中点,所以四边形EFGH为菱形,根据菱形的性质可以判断∠HGF=∠HEF.5.观察探究，完成下面各题.如图，四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连结E,F,G,H，得到的四边形EFGH叫中点四边形.(1)请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_______；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是_______；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是_______；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是_______；(2)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的？【解析】(1)填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形.(2)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的.1.证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题可举反例的数字为()(A)3(B)4(C)8(D)6【解析】选D.因为3不是偶数,不符合条件,故错误；4是偶数,且能被4整除,故错误；8是偶数,且是4的2倍,故错误；6是偶数,但是不能被4整除,故选D.2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E，F，G，H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40m，则对角线AC=_______m.【解析】根据中位线定理易证中点四边形EFGH是平行四边形，因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，同时可推证EF=FG，所以四边形EFGH是菱形.已知菱形EFGH的周长为40m，所以边EF=10m.所以AC=2EF=20m.答案：203.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”,要证明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为：假设________,根据________,一定有__________,但这与已知________相矛盾,因此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.【解析】∠C≠90°的反面是∠C=90°,在直角三角形ABC中,依据勾股定理可知AC2+BC2=AB2,这与已知AC2+BC2≠AB2相矛盾.答案：∠C=90°勾股定理AC2+BC2=AB2AC2+BC2≠AB24.在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,如果四边形EFGH为菱形,那么四边形ABCD是________(只要写出一种即可)．【解析】答案不唯一：只要是对角线相等的四边形均符合要求.如：正方形、矩形、等腰梯形等．答案：正方形(或矩形、等腰梯形，答案不唯一)5.已知一个数小于它的绝对值,求证这个数必是负数．【解析】设这个数为a,假设a不是负数,则有两种情况：a为正数或a为0.当a为正数时,a的绝对值等于本身,与题设矛盾.当a=0时,0的绝对值等于0,这与题设相矛盾,所以假设不成立,故原结论是正确的．