九年级数学下册 第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法（第2课时）课件 华东师大版

§29.1几何问题的处理方法(第2课时)使学生能够用逻辑推理证明平行四边形的判定定理和性质定理，在证明这些定理的过程中，体会以前学过的定理不只是通过猜想、观察、比较得到的，这些定理需要数学的严格推理论证，才能说明它们是否正确.一装潢店要招聘店员，老板出了这样一道考题：“一顾客要一张平行四边形的玻璃，你利用工具度量哪些数据可说明这张玻璃符合顾客要求.”你能为招聘人员设计一方案吗？ＡＢＣＤ例1.已知：E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.DOABCEF【例题】DOABCEF证明：连结对角线BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=CO，BO=DO.∵AE=CF,∴AO-AE=CO-CF,∴EO=FO,又BO=DO,∴四边形BFDE是平行四边形.变形1.已知：E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且求证：四边形BFDE是平行四边形.DABCEFBE∥DF.变形2.已知：E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证：四边形BFDE是平行四边形.DABCEF变形3.已知：E,F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AF=CE求证：四边形BFDE是平行四边形.DABCEF例2.已知:如图.分析:这是一道综合性题目,利用勾股定理、方程和平行四边形的判定定理进行计算性推理可获证.OMNP45x-311-xx-5求证:四边形MNOP是平行四边形.证明:OMNP45x-311-xx-5222x3x54..8xMN5PO.PM3ON.∴四边形MNOP是平行四边形.例3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，且BC＝18cm，求DE的长.分析：由DE垂直平分AC，同学们会想到添加哪条辅助线？显然，连结AD较合理，这样就得到DA＝DC，从而∠1＝∠C＝30°，∠BAD＝90°，然后根据已知条件即可求出DE的长度.EDCBA1解：连结AD.∵DE垂直平分AC,∴DA＝DC,∴∠1＝∠C，又∵AB＝AC，∠BAC＝120°,∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC－∠1＝90°，设DE＝ｘ，则CD＝2ｘ,∴AD＝2ｘ，∴BD＝4ｘ,∵CD＋BD＝BC，∴4ｘ＋2ｘ＝18cm∴ｘ＝3cm答：DE的长度为3cm.AEODCB例4．已知：矩形ABCD中，AB=2，BD=4,AE⊥BD于E，请你分别求出图中线段AC,BE的长以及∠ADB的度数.解:∵四边形ABCD为矩形,∵BD=4，∴AC=4，OB=OA=2.∵AB=2,∴OB=OA=AB.∴△AOB为等边三角形.∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD.2121又AE⊥OB于E,∴E为BO的中点.∴BE=OE=1.∵∠DAB=90°,∴∠ADB=90°－60°=30°.例5.已知:如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DFAE于F，若AE＝BC.求证:FE＝CE.ＡＢＣＤＥＦ证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝AE，B＝90°，∵AD∥BC,∴DAE＝AEB.又∵DFAE于F，∴AFD＝90°＝B.∴△AFD≌△EBA（A.A.S.).∴AF＝BE,∵AE＝BC,∴AE－AF＝BC－BE.即FE＝CE.例6.已知：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F.求证：四边形AFCE是菱形.ADEBCFO12证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥FC,∴∠1＝∠2.又∵∠AOE＝∠COF,AO＝CO,∴△AOE≌△COF(A.S.A.),∴EO＝FO,∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE是菱形.例7.已知：如图，四边形ABCD是正方形，AC，BD交于O点，E是OB上任一点，连结AE，过D作DF⊥AE，垂足为F，DF交OA于H.求证：DH=AE.分析：要证DH=AE，只需证△DOH≌△AOE.证明：因为四边形ABCD是正方形，AC，BD交于O，则∠AOD=∠AOE=90°，OD=OA,所以∠2=90°-∠3.又因为DF⊥AE，所以∠1=90°-∠3，所以∠2=∠1，所以△DHO≌△AEO(A.A.S.)，所以DH=AE.ADCBEFHO123例8.梯形ABCD中,ADBC,AB=DC，ACBD(1)求证:BD2+AC2=(AD+BC)2.(2)当AD=3cm,BC=7cm时,求BD的长.OABCDE解析：（1）过D作DE∥AC交BC的延长线于点E.∵ACBD∴DEBD∵ADBC,∴四边形ACED是平行四边形.∴AD=CE，AC=DE,∴BD2+DE2=BE2,∴BD2+AC2=(AD+BC)2.（2）∵AB=CD,∴AC=BD.由（1）得△DBE是等腰直角三角形.∵AD=3cm,BC=7cm,∴BE=10cmcm.25∴BD=ACOBD例9.已知：如图，梯形ABCD,AB∥DC，AB+DC=BC，O是AD的中点.求证：OB⊥OC.证明：过O作OE∥AB,∵O是AD的中点,∴E是BC的中点,11OE(ABCD)BC,22∴OB⊥OC.ACOBDE1234已知:如图,AC,BD是□ABCD的两条对角线,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别是E,F.求证:AE=CF.证明：∵AC,BD是□ABCD的两条对角线,∴OA=OC,∠AOE=∠COF.∵AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别是E,F.∴∠AEO=∠CFO=90°,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.BDCAFEO【跟踪训练】1.（綦江·中考）如图，在□ABCD中，分别以AB,AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A,E之间，连结CE，CF,则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC②∠CDF=∠EAF③△ECF是等边三角形④CG⊥AEA.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④【答案】BGFEDCBA2.（成都·中考）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）A.6种B.5种C.4种D.3种【答案】CABDCEF3.(嘉兴·中考）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且AE=CF.（1）求证：DE=BF.（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形.（不要求证明）【解析】（1）在□ABCD中，AB//CD，AB=CD．∵AE=CF，∴BE=DF，且BE//DF．∴四边形BFDE是平行四边形．∴DE=BF.（2）连结BD，如图，图中有三对全等三角形：△ADE≌△CBF，△BDE≌△DBF，△ABD≌△CDB．ABDCEF4.（恩施·中考）已知，如图，在□ABCD中，AE=CF，M，N分别是DE,BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形.【解析】由平行四边形性质可知，AB=CD，AB∥CD,∵AE=CF,∴BE=DF,又∵BE∥DF,∴四边形BEDF为平行四边形，∴DE=BF,DE∥BF.∵M,N分别是DE,BF的中点，∴ME=NF.又∵ME∥NF,∴四边形MFNE是平行四边形.1．总结平行四边形的判定定理和性质定理.2．能应用这些定理证明一些相关命题.希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行.——冰心