九年级数学下册 第29章几何的回顾29.1 几何问题的处理方法（第1课时）课件 华东师大版

第29章几何的回顾§29.1几何问题的处理方法(第1课时)使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明的方法，培养学生的逻辑推理能力.逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法.几何学的研究充分运用了这一方法.这就是中国明代伟大的科学家徐光启与他翻译的《几何原本》.哥白尼地球是运动的!缺乏依据,无法证明.（1）通过看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜得出结论，并在实验、操作中对结论作出解释的方法.（2）用逻辑推理的方法.探索几何图形性质常用的两种方法：做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三角形的大小和形状可以不一样.如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？ABCDABCD1.可以发现折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴.2.由于AB与AC重合，因此点B与点C重合，这样线段BD与CD也重合.所以∠B=∠C.3.等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）4.这种合情推理的方法是研究几何图形属性的一种基本方法.同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性.等腰三角形是轴对称图形∠B=∠C,等腰三角形两个底角相等BD=CD，AD为底边上的中线.∠ADB=∠ADC，AD为底边上的高线；∠BAD=∠CAD，AD为顶角的平分线；ABCD(简写成“等边对等角”)；等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）.用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的属性是研究问题的又一种基本方法.解：∵AB＝AC（已知），∴∠C＝∠B＝80°（等边对等角），∵∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），∴∠A＝180°－∠B－∠C（等式的性质）＝180°－80°－80°＝20°.已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝80°.求∠C和∠A的度数.【例题】逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法.逻辑推理需要依据,我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理最原始的依据,因此在前面的学习中,给出了如下的公理:(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边,或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等.(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.等式、不等式的有关性质以及等量代换也是推理的依据.也将“经过两点有且只有一条直线”以及“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（平行公理）”作为添加辅助线的依据.有了上述推理依据，我们就能用逻辑推理的方法证明教材中出现的所有的几何图形的属性.ABCDEF2413平行线的性质如图,AB//CD,同位角∠1与∠2大小有什么关系？其他同位角大小也有这样的关系吗？结论：如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.平行线的性质ABCDc21简记：两直线平行同位角相等.如图，若AB//CD,则∠1=∠2.讨论:在这个特征中,条件是什么?结论是什么?它与“同位角相等,两直线平行”有什么不同?平行线的性质如图,AB//CD,内错角∠2与∠3的大小有什么关系？如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.我们可以猜想得到:ABCDEF2413同学们，请你们利用刚学的结论来证明一下，好吗？公理：两直线平行，同位角相等.猜想：两直线平行，内错角相等.证明：∵a//b(已知)，（两直线平行，同位角相等）.又∵∠1=∠2（对顶角相等）,∴∠2=∠3（等量代换）.∴∠1=∠3243abc1平行线的性质结论：如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简记：两直线平行，内错角相等．平行线的性质如图,AB//CD,同旁内角∠2与∠4的大小有什么关系？猜想:如果两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.ABCDEF2413同学们，请你们帮忙证明我的结论吧！呵呵猜想：两直线平行，同旁内角互补.∵a//b(已知),∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）.证明：已证：两直线平行，内错角相等.又∵∠3+∠4=180°（邻补角的定义）,∴∠2+∠4=180°(等量代换).公理：两直线平行，同位角相等.平行线的性质结论：如果两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简记：两直线平行，同旁内角互补．平行线的性质1.两直线平行，同位角相等.2.两直线平行，内错角相等.3.两直线平行，同旁内角互补.243abc1（若a//b，则∠1=∠3）（若a//b，则∠2=∠3）（若a∥b，则∠2+∠4=180°）12abc如图,三根木条相交成∠1与∠2,固定木条b,c，转动木条a.并猜想:∠1与∠2满足什么条件时,a//b?b我们以前是怎样过已知直线a外一点p画a的平行线b的?cap两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.平行线的判定方法1:同位角相等,两直线平行.·abc321如图:如何判断这块玻璃板的上、下两边平行？解：∵∠1=∠3（已知），又∵∠2=∠3∴a∥b∴∠1=∠2(等量代换)，（对顶角相等），(同位角相等,两直线平行).已知∠1=∠3，直线a,b会平行吗？【想一想】两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.平行线的判定方法2：内错角相等，两直线平行.解：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.平行线的判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.∵∠1+∠4=180°（已知）,（平角的定义）,∴∠1=∠2（同角的补角相等）,∴a//b（同位角相等，两直线平行）.仿照上例,如果∠1+∠4=180°,那么a∥b吗?又∵∠2+∠4=180°abc142【想一想】DCBA证明:∵∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形的内角和等于180°),∴∠A＋∠C＝180°-∠ABC（等式的性质）.∵∠ABC+∠CBD=180°(平角的定义),∴∠CBD=180°-∠ABC(等式的性质),∴∠CBD＝∠A＋∠C(等量代换).由于这里所证明为正确的命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把这一真命题也作为定理.例1.求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角.求证：∠CBD=∠A+∠C.【例题】如图，∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其他角有什么关系?能证明你的结论吗?∠1+∠4=180°;∠1∠2;∠1∠3;∠1=∠2+∠3.证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形的内角和等于180°),∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3(等量代换).∴∠1∠2,∠1∠3(和大于部分).ABCD1234用文字表述为:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论.推论可以当作定理使用.三角形内角和定理的推论:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD1234ACDBE例2.已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD∥BC.∴∠DAE=∠EAC(角平分线的定义),21∠B=∠C(已知),∴∠B=∠EAC(等式性质).21∵AD平分∠EAC(已知),∴∠DAE=∠B(等量代换).∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),证法1ACDBEACDBE∠DAC=∠C,∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理),∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代换).∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).(也可利用∠C=∠DAC，利用平行线判定方法2证明）证明:由证法1可得:证法2例3.已知:如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连结DE.求证:∠1∠2.证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知),∴∠1∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义)，∴∠3∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠1∠2(不等式的性质).ADCBF1345E2例4.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求∠B和∠ACB的大小.解:∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知),∠DCA=100°(已知),∴∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠DCA+∠ACB=180°(平角定义),∴∠ACB=80°(等式的性质).∠A=45°(已知),ABCD例5.已知:国旗上的正五角星如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中，运用三角形内角和定理来求解.ABCDE解:如图，∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，又∵∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式性质).ABCDEF2H11.（十堰·中考）如图，直线l1∥l2，且被直线l3所截，∠1=∠2=35°，∠P=90°，则∠3=.【答案】55°l1l2l3312P2.（贵阳·中考）如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA=60°，测得BC=7m，则桥长AB=m.（结果精确到1m）【答案】12DCBA3.（河北·中考）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）ABCD40°120°A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】C图aO图b4.（玉溪·中考）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB，CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论.图c（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD,∠B,∠D,∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）.（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．G图d【解析】（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.延长BP交CD于点E,∵AB∥CD.∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D.（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.又∵∠AGB=∠CGF，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.图dG【规律方法】证明的步骤：1.根据命题条件与结论画出图形.2.根据图形写出已知与求证.3.写出证明过程.1.认识了推理证明的必要性.2.知道了证明的方法和步骤.我们应该有恒心，尤其要有自信心.——居里夫人