九年级数学下册 第28章圆28.3圆中的计算问题 1弧长和扇形的面积习题课件 华东师大版

§28.3圆中的计算问题1.弧长和扇形的面积1.了解扇形的概念.（重点）2.掌握弧长和扇形面积公式，并能灵活应用公式解决问题.（重点、难点）1.半径为R的圆的周长是2πR，圆的周长可以看作360°圆心角所对的弧长.【思考】（1）那么1°的圆心角所对的弧长是多少？提示：(2)n°的圆心角所对的弧长是多少？提示：【总结】弧长公式：l=______(n为圆心角的度数，R为圆的半径）2RR,.360180即nR.180nR1802.由组成圆心角的_________和圆心角_________所围成的图形叫做扇形.3.半径为R的圆的面积是πR2，圆的面积可以看作是360°的圆心角所对的扇形的面积.【思考】（1）1°的圆心角所对的扇形的面积是多少？n°的圆心角所对的面积是多少？提示：n°的圆心角所对的面积是_________.两条半径所对的弧2R,3602nR360（2）圆心角为n°的扇形面积S和它的弧长l、半径R有怎样的关系？提示：n°的圆心角所对的扇形的面积【总结】扇形的面积公式：（1）（n为扇形的圆心角的度数，R为扇形的半径）.(2)（l为扇形的弧长，R为扇形的半径）.2nR1nR1SRR.36021802lS______扇形S____扇形2nR3601R2l（打“√”或“×”）(1)半径越大弧的长度越大.（）（2）扇形是圆中的弦与所对的弧所组成的图形.（）（3）1°圆心角所对的弧是1°弧.（）（4）扇形的面积与弧长和半径有关.（）××√√知识点1弧长公式【例1】如图，正方形ABCD的边长为1，其中弧DE，弧EF，弧FG的圆心依次为点A，B，C．（1）求点D沿三条弧运动到点G所经过的路线长.（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．【思路点拨】（1）根据弧长的计算公式，代入运算即可．（2）先证明△FCD≌△GCB，得出∠G=∠F，从而利用等量代换可得出∠GHD=90°，即GB⊥DF．【自主解答】（1）根据弧长公式得所求路线长为：（2）GB⊥DF．理由如下：在△FCD和△GCB中，∴△FCD≌△GCB（S.A.S.），∴∠G=∠F，∵∠F+∠FDC=90°，∴∠G+∠FDC=90°，∴∠GHD=90°，∴GB⊥DF．9019029033180180180．CFCG,FCDGCB,CDCB,【总结提升】求弧长“三步法”1.求弧所对圆心角的度数.2.求弧所在圆的半径.3.依据弧长公式求出弧长.知识点2扇形面积的计算【例2】（2013·威海中考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO＝1．（1）求∠C的大小.（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）根据垂径定理可得然后在Rt△COE中求出∠C的度数.(2)连结OB，根据（1）求出∠AOB，在Rt△AOF中，求出AF,OF,然后根据S阴影=S扇形OAB-S△OAB求出结果.ADBD，1CAOD2，【自主解答】（1）∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∵AO⊥BC，所以∠C=30°.（2）如图，连结OB，由（1）知∠C=30°，∴∠AOD=60°，∠AOB=120°，在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，1ADBDCAOD.2，1COEAODCCOE.2，31AFOFAB3.22，，2AOBAOB1201113SSS13.3602234阴影扇形【总结提升】利用扇形面积公式的三点注意1.公式中的n与360不带单位.2.当已知半径和圆心角的度数求扇形面积时，选用公式当已知半径和弧长求扇形的面积时，选用公式3.根据扇形的面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，r四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量.2nrS3602nrS.3601Sr.2l题组一：弧长公式1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为()A.6cmB.12cm【解析】选A.由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,即n=60，l=2πcm，根据弧长公式即R=6cm.C.23cmD.6cmnR60R2,180180，得l2.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为()1010A.10B.C.D.33【解析】选C.根据勾股定理得：∵△ABC绕点C顺时针旋转60°，∴顶点A所经过的路径长为：22AC3110,nr601010.1801803l3.（2013·南充中考）点A，B，C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC=36°,则的长为____________cm.【解析】设圆心为O，则∠BOC=2∠BAC=72°,的长为答案：6πBC72156cm.180BC4.扇形的半径是9cm，弧长是3πcm，则此扇形的圆心角为_______度．【解析】根据解得：n=60.答案：60nrn93180180，l5.（2013·丽水中考）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.（1）求证：BE=CE.（2）求∠CBF的度数.（3）若AB=6，求的长.AD【解析】（1）连结AE,∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°.即AE⊥BC.又∵AB=AC，∴BE=CE.(2)∵∠BAC=54°，AB=AC,∴∠ABC=63°.又∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°.∴∠CBF=∠ABF-∠ABC=27°.(3)连结OD,∵OA=OD,∠BAC=54°,∴∠AOD=72°.又∵AB=6，∴OA=3.∴的长为AD7236.1805题组二：扇形面积的计算1.（2013·资阳中考）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是()【解析】选A.111A.B.C.D.24821801S1.36022.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是()A.3πB.6πC.5πD.4π【解析】选B.由图可得，阴影部分的面积即为扇形BAB′的面积，所以图中阴影部分的面积是26066.3603.（2012·通辽中考）一个扇形的弧长是20πcm，面积是120πcm2，则这个扇形的半径是__________．【解析】由知，答案：12cm1Sr2l2S240r12cm.20（）l4.（2013·凉山州中考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为_______.【解析】∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴扇形的半径为5，∴阴影部分的面积答案：290525.36042545.如图，小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为_____（结果保留π）.【解析】∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵两个阴影部分扇形的半径均为1，答案：2901S3604阴影．146.（2013·乐山中考）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为__________.【解析】如图，连结AB,阴影图形的面积可以转化成一个扇形减去一个等腰直角三角形所得的图形面积的2倍，同理，另一部分的面积也为π-2，因此围成的“叶状”阴影图案的面积为2π-4.答案：2π-4AOBS扇形AOB9041S2223602，7.如图,水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12cm,其中水面高度为6cm,求截面上有水的弓形面积.【解析】连结OA,OB.∵OE=OC-CE=12-6=6（cm）,在直角△AOE中,OA=12cm,OE=6cm,∴∠OAE=30°,∴扇形AOB的面积为△AOB的面积为则阴影部分的面积为AEOAcos3063cm.AOB2AOE120,AB2AE123cm.（）221201248cm360．211ABOE1236363cm22．248363cm.（）【变式备选】如图,水平放着的圆柱形排水管的截面直径为1000mm,其中水面宽AB=800mm,则水的最大深度为____mm.【解析】过O点作OC⊥AB,C为垂足,交⊙O于D,连结OA,如图所示.由题意知OA=OD=500mm,AB=800mm,∵OC⊥AB,∴AC=BC=400mm,在Rt△AOC中,OA2=AC2+OC2,∴CD=OC+OD=800mm,即水的最大深度为800mm.答案:8002222OCOAAC500400300mm,（）【想一想错在哪？】如图所示，AB是半圆O的直径，AB=2R，C，D为半圆周的三等分点，求阴影部分的面积.提示：观察图形不仔细，将阴影部分看成是扇形而出现错误！