九年级数学下册 第28章圆28.3圆中的计算问题 1弧长和扇形的面积课件 华东师大版

1.弧长和扇形的面积1.弧长：圆的周长可以看作____度的圆心角所对的弧.设圆的半径为r,则1°的圆心角所对的弧长l是______,2°的圆心角所对的弧长l是_____,4°的圆心角所对的弧长l是_____，…，n°的圆心角所对的弧长l是_____.360r1802r1804r180nr1802.什么叫扇形？答：由组成圆心角的两条_____和圆心角所对的___所围成的图形叫做扇形.3.扇形的面积：圆的面积可以看作____度圆心角所对的扇形的面积.设圆的半径为r,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=.半径弧3602r36022r36025r3602nr360__________________【点拨】半径一定时,圆心角越大，弧长和扇形的面积也越大；圆心角一定时,半径越大，弧长和扇形的面积也越大.【预习思考】弧长、扇形面积与什么有关？提示：弧长、扇形的面积与所在圆的半径和所对的圆心角有关．弧长公式的应用【例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于D点,若AC=6,求弧AD的长.【解题探究】①试比较∠CAD与∠CDA的大小．答：连结CD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA.②∠ACD为多少度？答：∵∠ACB=90°,∠B=15°,∴∠CAD=75°,∴∠ACD=30°．③的长度为多少？答：∵AC=6,∴的长度=ADAD3061.80【规律总结】求弧长“三步法”1.求弧所对圆心角的度数；2.求弧所在圆的半径；3.依据弧长公式求出弧长．【跟踪训练】1.(2012·湛江中考)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为()(A)6cm(B)12cm(C)(D)【解析】选A.由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,即n=60，l=2π，根据弧长公式23cm6cmnR60R2,R6cm.180180，得即l2.(2011·淮安中考)在半径为6cm的圆中,60°的圆心角所对的弧长等于______.【解析】方法一：直接利用弧长计算公式：方法二：圆心角为60°,所以圆心角所夹的扇形为圆的,因此弧长为圆周长的,即答案：2πcmnr6062(cm).180180l1616112r262(cm)663.制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm,精确到1mm)．【解析】由弧长公式,可得弧AB的长=500π≈1570(mm)因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970(mm)答：管道的展直长度为2970mm.100900180l扇形面积的计算【例2】(8分)(2012·宜宾中考)如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点.(1)求证:OF∥BD；(2)若，且⊙O的半径R=6cm.①求证:点F为线段OC的中点;②求圆中阴影部分(弓形)的面积.ADEF1ED2【规范解答】(1)∵OC为半径,点C为的中点,∴OC⊥AD.……………………………………………………1分∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD，∴OF∥BD.……………………………………………………2分(2)①∵O为AB的中点，OF∥BD,∴F为AD的中点,∴FO=.………………………………3分AD1BD2∵FC∥BD,∴∠FCE=∠DBE.∵∠FEC=∠DEB,∴△ECF∽△EBD…………………………4分…………………………………5分∴FC=FO，即点F为CO的中点.………………………………6分②∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO.又∵AO=CO,∴△AOC为等边三角形.…………………………7分∴S阴=……………8分11BD2CFEF,FCBDE2,D226061366693(cm)32.602【规律总结】利用扇形面积公式的两点注意1.公式中的n与180不带单位；2.已知半径和圆心角求扇形面积时,通常选用公式已知半径和弧长时,一般采用公式S扇形=lr．2nrS360扇形；12【跟踪训练】4.(2012·天门中考)如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是()(A)3π(B)6π(C)5π(D)4π【解析】选B.由图可得，阴影部分的面积即为扇形BAB′的面积，所以图中阴影部分的面积是26066.3605.如图,水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12cm,其中水面高度为6cm,求截面上有水的弓形面积.【解析】连结OA,OB.∵OE=OC-CE=12-6=6(cm),在直角△AOE中,OA=12cm,OE=6cm,∴∠OAE=30°,AE=OA·cos30°=(cm).∴∠AOB=2∠AOE=120°,AB=2AE=cm.∴扇形AOB的面积为=48π(cm2)．△AOB的面积为则阴影部分的面积为631232120123602(48363)cm.211ABOE1236363(cm)22．1.(2012·珠海中考)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°【解析】选C.根据弧长公式可得解得n=60.3nr180，ln13180，2.(2012·黄石中考)如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为()(A)(B)(C)(D)4334233433243【解析】选A.作OC⊥AB,∵∠AOB=120°，∴∠OAB=30°.∵OA=2,∴OC=1,AC=即AB=阴影部分的面积为3,23.21202142313.360233.(2012·绵阳中考)如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为_____.(结果保留两位有效数字，参考数据：π=3.14)【解析】阴影部分的面积=正方形的面积-(4×π·12-22)=4-2π+4=8-6.28≈1.7．答案：1.7124.(2011·乌兰察布中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm,分别以A,C为圆心,以的长为半径作圆,将Rt△ABC截去两个扇形,则剩余(阴影)部分的面积为_________cm2(结果保留π)．AC2【解析】阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积减去以A，C为圆心的两个扇形的面积,两个扇形的圆心角之和等于90°,由勾股定理得AC=10cm,半径为5cm.S阴影=答案：21905256824.2360425(24)45.如图，两个同心圆的半径所截得的弧长AB=6πcm,弧长CD=10πcm,且AC=12cm.(1)求两圆的半径长．(2)阴影部分的面积是多少？【解析】(1)设OA=r,则OC=r+12,扇形的圆心角是n度.根据题意得：解得：n=60,r=18(cm),∴r+12=30(cm)，即两圆的半径长分别是18cm,30cm；(2)阴影部分的面积是nrn(r12)6,10.18018022260(3018)96(cm).360