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4.圆与圆的位置关系1.了解圆与圆的几种位置关系及相关概念.(重点)2.掌握两圆位置关系与圆心距d,半径R和r的数量关系之间的对应联系.(重点、难点)1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离:两个圆_____公共点,并且每一个圆上的点都在另一个圆的_____.(2)外切:两个圆_________公共点,除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的_____.(3)相交:两个圆有_____公共点.没有外部只有一个外部两个(4)内切:两个圆_________公共点,除公共点外,一个圆上的点都在另一个圆的_____.(5)内含:两个圆_____公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的_____.2.如果只从公共点的个数来考虑分三种：相离、相切、相交,并且相离分为_____和_____,相切分为_____和_____.只有一个内部没有内部外离内含外切内切3.圆与圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系：圆与圆的位置关系外切内切相交外离内含圆心距d与半径R和r的关系(Rr)d=____d=________d____d___d____公共点的名称_______________R+rR-rR-rR+rR+rR-r切点切点交点(1)两圆有唯一公共点时,两圆一定相切.()(2)两圆没有公共点时,两圆外离.()(3)圆心相同,半径不等的圆是同心圆.()(4)相切两圆的连心线(经过两圆心的直线)必过切点.()(5)相交两圆的连心线垂直平分公共弦.()√×√√√（打“√”或“×”）知识点1圆与圆位置关系的判定与性质【例1】(2013·毕节中考)已知☉O1与☉O2的半径分别是a,b,且a,b满足圆心距O1O2=5,则两圆的位置关系是__________.a23b0,【解题探究】(1)由a,b满足如何求出a,b的值?提示:由可得得(2)由(1)求出a,b的值,试比较|a-b|,a+b与O1O2的大小关系.提示:|a-b|=|2-3|=1O1O2,a+b=2+3=5=O1O2.(3)由(2)中的比较结果可知,两圆的位置关系是_____.a23b0,a23b0,a20,a23b0,b3=,得=相切【总结提升】两圆位置关系的判定方法及注意事项1.两种判定方法：(1)从两圆公共点的个数.(2)比较两圆半径的和、差与圆心距的大小．2.四点注意事项：(1)两圆的五种位置关系按公共点个数可分为三大类,即相切、相离和相交.(2)两圆相切包含两种情况,即两圆外切和内切.(3)两圆相离也包含两种情况,即两圆外离和内含.(4)同心圆是两圆内含的特殊情况．知识点2与两圆位置有关的证明或计算【例2】（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC＝4），以A为圆心，a为半径作圆，再以C为圆心，b为半径作圆（a4，b4，圆A与圆C交于B，D两点），连结AB，BC，CD，DA.若能作出满足要求的四边形ABCD，则a，b应满足什么条件？（2）若a＝2，b＝3，求四边形ABCD的面积.【思路点拨】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案.（2）连结BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE=x，则AE=4-x，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可．【自主解答】（1）能作出满足要求的四边形ABCD，则a,b应满足的条件是a+b＞4．（2）连结BD，交AC于点E，∵⊙A与⊙C交于B，D，∴AC⊥DB，BE=DE，设CE=x，则AE=4-x，由勾股定理得：BE2=32-x2=22-（4-x）2，解得：则四边形ABCD的面积是答：四边形ABCD的面积是222121315xBE3888，－()，13153152ACBE4.2823152【总结提升】解决两圆问题常作“五种”辅助线1.作两相交圆的公共弦.2.作两相交圆的连心线.3.两圆相切,作过切点的公切线.4.两圆相切,作连心线.5.过小圆圆心作大圆半径的垂线．题组一：圆与圆位置关系的判定与性质1.如图是小明同学的眼镜，则两镜片所在两圆的位置关系是()A.外离B.外切C.内含D.内切【解析】选A．两圆无公共点，且每一个圆上的点都在另一个圆的外部，是外离.2.（2013·长沙中考）已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为3cm，两圆的圆心距O1O2为4cm，则两圆的位置关系是()A．外离B．外切C.相交D.内切【解析】选B.因为两半径之和等于圆心距，故两圆外切.3.（2013·东营中考）已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是方程的根，⊙O1与⊙O2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为()A．内含B．内切C．相交D．外切【解析】选B.解方程得x=3，所以r2=3,又∵r2-r1=3-2=1,圆心距为1，所以两圆内切.32xx132xx14.已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的范围是()A.0＜d＜2B.1＜d＜2C.0＜d＜3D.0≤d＜2【解析】选D.∵两圆的半径为1与3，∴当0≤d＜（3-1），即0≤d＜2时两圆的位置关系是内含.5.已知圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，则圆O2的半径为_______.【解析】∵圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，∴圆O2的半径为：10-3=7（cm）．答案：7cm6.如图，⊙O1和⊙O2外切于点P，直线AB与两圆都相切，A，B为切点，试判断以线段AB为直径的圆与直线O1O2的位置关系，并说明理由．【解析】直线O1O2与以线段AB为直径的圆相切．理由如下：过P作⊙O1，⊙O2的切线PM，交AB于M点，则AM=MB=MP，O1O2⊥MP，∴M点为以线段AB为直径的圆的圆心，且点P在⊙M上．∵⊙O1和⊙O2外切于点P，∴直线O1O2过点P，∴直线O1O2与以线段AB为直径的圆相切．题组二：与两圆位置有关的证明或计算1.如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12，4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为()A.48πB.24πC.12πD.6π【解析】选B.大圆周长为12π，四个小圆周长和为4×（12÷4）π=12π，5个圆的周长的和为12π+12π=24π．2.半径为15cm和13cm的两个圆相交，它们的公共弦长为24cm，则这两个圆的圆心距等于()A.4cmB.4cm或14cmC.9cmD.9cm或14cm【解析】选B.∵两个圆相交，公共弦长为24cm，∴连结两圆的圆心，连心线的一部分，半径和公共弦的一半构成直角三角形．当两圆的圆心在公共弦的两侧时，解得圆心距为当两圆的圆心在公共弦的同侧时，解得圆心距为221512－2213129514cm－（）；222215121312954cm－－－（）．3.（2013·娄底中考）如图，⊙O1，⊙O2相交于A，B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为()A.4.8cmB.9.6cmC.5.6cmD.9.4cm【解析】选B.连结O1A，O2A,设AB与O1O2的交点为M，∵在△AO1O2中，O1A=6cm,O2A=8cm，O1O2=10cm，∴△AO1O2为直角三角形.又O1O2垂直平分AB,由面积关系O1A·O2A=O1O2·AM，即：6×8=10×AM,∴AM=4.8cm,则AB=9.6cm.4.如图，三个半径都为3cm的圆两两外切，切点分别为D，E，F，则EF的长为_______cm．【解析】连结EF，∵⊙A,⊙B,⊙C半径相等且两两外切，∴△ABC为等边三角形，边长为6cm，又切点E,F为AB,AC的中点，答案：31EFBC3cm2．5.如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心、OA为半径的弧交⊙O于B,C，则BC=________.【解析】连结OB，则OA⊥BC，垂足设为P．在Rt△BOP中，OB=6，答案：1OPOA32，2222BPOBOP6333.－－BC2BP63.636.要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相等的圆形凳面,问怎样截才能截出直径最大的凳面,最大的凳面直径是多少厘米？【解析】截法如图所示,根据圆的对称性可知：O1,O3都在⊙O的直径AB上,设所截出的凳面的最大直径为d厘米．则又∵O1O3=AB-(O1A+O3B)=50-d,∴最大的直径是厘米.122313OOd,OOd,OO2d；2d50d,21d50,d5021厘米．50(21)【想一想错在哪？】如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径长为1.点P(a,0),⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为()A.1，3B.±3C.±1D.±1,±3提示：两圆相切包括外切与内切，此题遗漏内切的情况!