九年级数学下册 第28章圆28.2与圆有关的位置关系 3.1切线第1课时课件 华东师大版

第1课时1.你能归纳切线的判定定理吗？答：经过半径_____并且_____这条半径的_____是圆的切线.【点拨】这个定理包含了两个条件：①直线经过半径的外端点；②直线垂直于这条半径.这两个条件缺一不可.外端垂直直线2.试说出判定一条直线是圆的切线的3种方法.答：___________________________________________________________________________________________________________________________．3.你能说出圆的切线的性质吗？答：圆的切线_____于过_____的半径．①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线垂直切点【预习思考】圆的切线的判定定理中的“半径”改为“直径”可以吗？提示：可以.切线的判定【例1】(10分)(2012·黄冈中考)如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，连结DB,过点D作DE⊥BC，垂足为点E.(1)求证:DE为⊙O的切线;(2)求证：DB2=AB·BE.特别提醒:有半径可证明直线过半径的外端点且垂直于半径！【规范解答】(1)连结OD,………………………………1分∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA，…………………………………………2分∵OA=OD,∴∠BAC=∠ODA，………………………………3分∴∠BCA=∠ODA.…………………………………………4分∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°，在直角三角形DCE中，∠BCA+∠CDE=90°，∴∠ODA+∠CDE=90°，即∠ODE=90°.…………………5分∴DE是⊙O的切线.………………………………………6分(2)∵D为⊙O上一点，AB为直径,∴∠ADB=90°.…………………7分∵AB=BC，∴∠ABD=∠CBD，∴△ABD∽△DBE，……………8分∴DB2=AB·BE.………………10分【规律总结】证明直线与圆相切时作辅助线的两种方法1.“连半径,证垂直”：已明确直线和圆有公共点,辅助线的作法是连结圆心和公共点,即得“半径”,再证“直线与半径垂直”．2.“作垂直,证半径”：不明确直线和圆有公共点,辅助线的作法是过圆心作直线的垂线,再证“圆心到直线的距离等于半径”．【跟踪训练】1.(2011·遵义中考)如图,AB是⊙O的直径,BC交⊙O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是⊙O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是()(A)DE＝DO(B)AB＝AC(C)CD＝DB(D)AC∥OD【解析】选A.由于D是圆上一点,所以要说明DE是切线,只需证明OD⊥DE即可,又因为DE⊥AC,所以当AC∥OD时,可得OD⊥DE,进一步当CD＝DB时,即D为BC的中点,而O为AB的中点,所以OD∥AC,当AB=AC时,连结AD,因为AB是直径,所以AD⊥BC,所以CD=DB,因此B、C、D条件均可以说明DE是⊙O的切线.2.矩形的两邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作半圆,则矩形的各边与半圆相切的线段最多有()(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条【解析】选D.以较长的边为直径作圆,半径正好与另一边相等,所以如图可知,与半圆相切的线段有3条.3.以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆与底边________.【解析】根据等腰三角形的性质可得等腰三角形顶角平分线、底边的中线以及底边上的高重合,以及切线的判定(经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)可得到以等腰三角形顶角的顶点为圆心,顶角的平分线为半径的圆必与底边相切.答案：相切4.已知：如图所示,在△AOB中,OC⊥AB于C,∠AOC=∠B,AC=16,BC=4,⊙O的半径等于8.求证：AB是⊙O的切线.【证明】∵OC⊥AB于C,∴∠ACO=∠OCB=90°.∵∠AOC=∠B,∴△AOC∽△OBC.∴∵AC=16,BC=4,∴OC=8=⊙O的半径.∴AB是⊙O的切线.2ACOC,OCACBC.OCBC切线的性质【例2】(2011·株洲中考)如图,AB为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,AC交⊙O于点E,D为AC上一点,∠AOD=∠C.(1)求证：OD⊥AC;(2)若AE=8,tanA=,求OD的长.34【解题探究】(1)①试说出∠A与∠C的关系.答：∵BC是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠A+∠C=90°,即∠A与∠C互余．②由①知∠A+∠C=90°,又∠AOD=∠C,所以∠A+∠AOD=90°,即∠ADO=90°,所以OD⊥AC．(2)①因为OD⊥AE,O为圆心,AE=8,依据垂径定理可得：D为AE的中点,所以AD=4．②因为tanA=所以OD=AD·tanA，所以OD=ODAD,3434.【规律总结】与切线有关的“五个”性质1.切线与圆只有一个公共点；2.切线和圆心的距离等于半径；3.切线垂直于经过切点的半径；4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心．【跟踪训练】5.(2011·随州中考)如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CO＝CD,则∠PCA＝()(A)30°(B)45°(C)60°(D)67.5°【解析】选D.PD切⊙O于点C,∴OC⊥PD,又∵OC＝CD,∴∠COD＝45°,∵AO＝CO,∴∠ACO＝22.5°,∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°．【解析】(1)连结OA,∵PA为⊙O的切线,∴∠PAO=90°,∵OA＝OB,OP⊥AB于点C,∴BC＝CA,PB＝PA,∴△PBO≌△PAO,∴∠PBO＝∠PAO＝90°,∴PB为⊙O的切线.(2)方法一：连结AD,∵BD是直径,∠BAD＝90°,由(1)知∠BCO＝90°,∴AD∥OP,∴△ADE∽△POE,由AD∥OC得AD＝2OC,∵tan∠ABE=∴设OC＝t,则BC＝2t,AD=2t，由△PBC∽△BOC,得PC＝2BC＝4t,OP＝5t，∴可设EA＝2m,EP=5m,则PA=3m,∵PA=PB,∴PB=3m,∴sinE=EAAD,EPOP12，OC1,BC2EAAD2,EPOP5PB3.EP5方法二：连结AD,则∠BAD＝90°,由(1)知∠BCO＝90°,∵AD∥OC,∴AD＝2OC.∵设OC＝t,BC＝2t,AB=4t,由△PBC∽△BOC,得PC＝2BC＝4t,∴PA＝PB＝过A作AF⊥PB于点F,则AF·PB=AB·PC,∴AF=进而由勾股定理得PF＝∴sinE=sin∠FAP=1OC1tanABE,,2BC285t,525t,65t,5PF3.PA56.(2012·湛江中考)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若BE=2,BD=4，求⊙O的半径.【解析】(1)连结OD，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠2=∠3；∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD平分∠BAC；(2)∵BC与圆相切于点D．∴∠ODB=90°,连结DE，即∠ODE+∠BDE=90°,∵∠3+∠ODE=90°,∴∠3=∠BDE=∠1.又∵∠B=∠B,∴△BED∽△BDA.∴BD2=BE·BA，∵BE=2，BD=4，∴BA=8，∴AE=AB-BE=6，∴⊙O的半径为3．1.(2012·河南中考)如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，则下列结论中不一定正确的是()(A)BA⊥DA(B)OC∥AE(C)∠COE=2∠CAE(D)OD⊥ACECCB，【解析】选Ｄ．因为AD是⊙O的切线，所以BA⊥DA；由圆周角定理得∠COE=2∠CAE，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，又因为所以∠CAE=∠CAB，所以∠CAE=∠OCA，所以OC∥AE．ECCB，2.如图,PA是⊙O的切线,切点为A,PA=∠APO=30°,则⊙O的半径为()(A)1(B)(C)2(D)4【解析】选C.连结OA,∵PA是⊙O的切线,切点为A,∴OA⊥PA,∵∠APO=30°,∴OA=即⊙O的半径为2.23,3PA2,333.如图,点A，B，D在⊙O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与⊙O的位置关系为________．【解析】∵∠BOC=2∠A=50°,∠OCB=40°,∴在△OBC中,∠OBC=180°-50°-40°=90°．∴直线BC与⊙O相切.答案：相切4.(2012·江西中考)如图,AC经过⊙O的圆心O,AB与⊙O相切于点B,若∠A=50°,则∠C=________.【解析】连结OB,则OB⊥AB,∴∠AOB=40°,∴∠C=20°.答案：20°5.如图,已知点E在△ABC的边AB上,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,且D在以AE为直径的⊙O上.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)已知∠B=28°,⊙O的半径为6,求线段AD的长.(结果精确到0.1)【解析】(1)连结OD,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,∵OA=OD,∴∠BAD=∠ODA,∴∠ODA=∠DAC,∴AC∥OD,∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,即BC是⊙O的切线.(2)连结DE.∵∠B=28°,∴∠BAC=62°,即∠BAD=31°,∵AE为⊙O的直径,∴∠ADE=90°,∵OA=6,∴AE=12,∴cos∠DAE=∴AD=AE·cos31°=12×0.86≈10.3.AD,AE