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§28.2与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系1.了解点与圆的三种位置关系,会用数量关系来判断点与圆的位置关系.(重点)2.理解不在同一条直线上的三点确定一个圆,能画出这个圆并掌握它的应用.(重点)3.了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念,会求特殊三角形的外接圆的半径.(重点、难点)1.点与圆位置关系：(1)点在圆内.(2)点在_____.(3)点在_____.2.点与圆的位置关系和点到圆心的距离d、圆的半径r之间的联系：(1)____⇔点在圆外.(2)d=r⇔点在_____.(3)dr⇔点在_____.圆上圆外dr圆上圆内3.确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定_____圆.4.三角形的外接圆:经过三角形_________的圆,其_____叫做三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的___________.三角形的外心也可以说成三角形三条边的___________的交点.一个三个顶点圆心内接三角形垂直平分线(打“√”或“×”)(1)已知☉O的半径为r,点P到点O的距离大于r,那么点P一定在☉O的外部.()(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形.()(3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.()(4)过平面内的任意三点可以作一个圆.()(5)任意三角形都有一个外接圆,且圆心在三角形的内部.()√×√××知识点1点与圆的位置关系【例1】Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AB=10,AC=6,以C点为圆心,6为半径画圆,则点A,B,D与圆的位置关系是怎样的?【解题探究】(1)确定点与圆的位置关系除了半径,还要知道什么?提示:还要知道点到圆心的距离.(2)点A,B,D到圆心C的距离分别是哪些线段的长?提示:分别是线段CA,CB,CD的长.(3)试求线段CB和CD的长．提示：在Rt△ACB中,AC=6,AB=10,由勾股定理可得：∴CD=4.8．ABC11BC8.SACBCABCD,22△(4)说出点A,B,D与圆的位置关系．提示：∵AC=6,⊙C的半径r为6,AC=r,∴点A在圆上．∵CD=4.8,⊙C的半径r为6,DC＜r,∴点D在圆内．∵BC=8,⊙C的半径r为6,BC＞r,∴点B在圆外．【总结提升】点与圆的位置关系若圆的半径为r，点A到圆心的距离为d，则：点与圆的位置关系d和r的关系图形推理过程点在圆内dr点在圆内⇔dr点在圆上d=r点在圆上⇔d=r点在圆外dr点在圆外⇔dr利用d和r的关系可以判断点和圆的位置关系,反之,知道了点和圆的位置关系,也能确定d和r的数量关系,体现了“数”与“形”的结合.知识点2确定圆的条件【例2】为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某镇新建一个医疗点P,使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A,B,C不在同一直线上,地理位置如图),请你用尺规作图的方法确定点P的位置.要求:不写作法,保留作图痕迹.【思路点拨】分析题意→作AB和AC的垂直平分线→交点为所求.【自主解答】如图所示【总结提升】作三角形外接圆时需注意的三个问题1.圆心是三角形任意两边垂直平分线的交点,三边的垂直平分线不必全部作出.2.作图过程中,要注意保留作图痕迹.3.注意写出结论.题组一:点与圆的位置关系1.☉O的半径R=5cm,点P与圆心O的距离OP=3cm,则点P与☉O的位置关系是()A.点P在☉O外B.点P在☉O上C.点P在☉O内D.不确定【解析】选C.∵☉O的半径R=5cm,点P与圆心O的距离OP=3cm,53,∴点P与☉O的位置关系是点P在圆内.2.已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,那么☉A的半径r的取值范围是()A.6r10B.8r10C.6r≤8D.8r≤10【解析】选A.∵矩形ABCD的边AB=6,AD=8,∴AC=10,以点A为圆心作☉A,当r6时,B,C,D三点都在圆外;r=6时,点B在圆上,点C和点D都在圆外;当6r8时,点B在圆内,点C和点D都在圆外;当r=8时,点B在圆内,点D在圆上,点C在圆外;当8r10时,点B和点D都在圆内,点C在圆外;当r≥10时,B,C,D三点都不在圆外,∴符合要求的☉A的半径r的取值范围是6r10.3.平面直角坐标系中有一个点M(2,3),☉M的半径为r,若☉M上的点不全在第一象限内,则r的取值范围是()A.r=2B.r=3C.r≥2D.r≥3【解析】选C.∵点M到坐标轴的最短距离是2,∴若☉M上的点不全在第一象限内,则r的取值范围是r≥2.4.已知☉O的直径为10cm,点A,B,C与圆心O的距离分别为5cm,4cm,6cm,则点A在☉O________;点B在☉O________;点C在☉O________.【解析】∵☉O的直径为10cm,∴☉O的半径为5cm.∵OA=5cm,∴点A在☉O上.∵OB=4cm,∴点B在☉O内.∵OC=6cm,∴点C在☉O外.答案:上内外5.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人员需要跑到离爆破点120m以外的安全区域,已知这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全?【解析】点导火索的人非常安全.理由如下:导火索燃烧的时间为此时人跑的路程为20×6.5=130(m),因为130120,所以点导火索的人非常安全.答:点导火索的人非常安全.1820s,0.9题组二:确定圆的条件1.三角形的外心在这个三角形的()A.内部B.外部C.在其中一边上D.以上三种都可能【解析】选D.锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在斜边的中点上,钝角三角形的外心在三角形的外部.2.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,-2),则△ABC外接圆的圆心坐标是()A.(2,3)B.(3,2)C.(1,3)D.(3,1)【解析】选D.根据垂径定理的推论,作弦AB,AC的垂直平分线,交点O1即为圆心,且坐标是(3,1).【归纳整合】三角形的外心(1)三角形的外心是三角形任意两边垂直平分线的交点.(2)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.(3)三角形的外心只有一个,且锐角三角形的外心在三角形的内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心是斜边的中点.3.A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是()A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内【解析】选B.∵A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,∴AB+BC=AC,则B是线段AC的中点,∴可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外.4.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是________.【解析】直角三角形的两条边分别为16和12,当这两边为直角边时,则直角三角形的斜边为20,∵直角三角形外接圆半径等于斜边的一半,∴外接圆半径的长为10;当斜边为16时,其三角形外接圆半径的长为8.∴此三角形的外接圆半径是10或8.答案:10或85.正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定________个不同的圆.【解析】正方形的四个顶点到它中心的距离相等,中心与一边的两个端点可以确定一个圆,正方形有四条边,因而有四个圆;而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上,所以能确定5个不同的圆.答案:56.已知直线a和直线外的两点A,B,经过A,B作一圆,使它的圆心O在直线a上.(不写作法,保留作图痕迹)【解析】如图所示【想一想错在哪？】平面上有不在同一直线上的4个点,过其中3个点作圆,可以作出n个圆,求n的值.提示:没分情况讨论,误认其中的任意三点都不共线,导致错误.