九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 2圆的对称性习题课件 华东师大版

2.圆的对称性1.理解圆的对称性.2.掌握圆心角、弧、弦三者之间的关系,能运用它们之间的关系解决问题.(重点)3.掌握垂径定理及其推论,能运用垂径定理及其推论解决问题.(重点、难点)一、圆心角、弧、弦之间的关系在同一个圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量_____,那么它们所对应的其余各组量都分别_____.二、圆的对称性1.圆的对称性.圆是_______图形,对称轴是_____________所在的直线.相等相等轴对称任何一条直径2.垂径定理如图,CD为☉O的直径,AB为弦.【思考】(1)当CD⊥AB,垂足为E时,将圆沿直线CD对折,点A与点B重合吗?你会发现哪些相等的线段和相等的弧?提示:重合.(2)你能证明AE=BE吗?提示:连结OA,OB,则OA=OB.∵CD⊥AB,∴△OAE和△OBE都是直角三角形.又∵OE为公共边,∴两个直角三角形全等,则AE=BE.AEBEADBD,ACBC.，（3）当AE=BE时，将圆沿直线CD对折，与与相等吗？提示：连结OA，OB，则OE为等腰△AOB底边上的中线，∴CD⊥AB，∴点A与点B重合，ADBDAC，BCADBD,ACBC.（4）上述证明是在△AOB存在即AB为非直径的弦的条件下得到的结论，那么当AB为直径时是否成立呢？你能画出图形吗？提示：成立.如图所示：【总结】垂径定理:垂直于弦的直径_______,并且_____弦所对的两条弧.平分弦平分3.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径_____于这条弦,并且_____弦所对的弧;平分弧的直径_________这条弧所对的弦.垂直平分垂直平分(打“√”或“×”)(1)圆心角相等,则它所对的弦及所对的弧都相等.()(2)在两个圆中,若有两条弦相等,则这两条弦所对的弧一定相等.()(3)直径是所在圆的对称轴.()(4)弦的垂直平分线一定过圆心.()(5)平分弧的直线一定平分这条弧所对的弦.()×××√×知识点1圆心角、弧、弦之间的关系【例1】如图，分别是半径OA和OB的中点，CD与CE的大小有什么关系？为什么？ACCBD,E，【解题探究】(1)由如何添加辅助线构造相等的角？提示：连结OC，根据弧相等，所对的圆心角也相等，可得∠COD=∠COE.(2)由D,E分别是半径OA和OB的中点，可得哪些线段相等？提示：AO=BO,AD=OD=OE=EB.ACCB，3.通过以上探究，可证明哪两个三角形全等？提示：所以△ODC≌△OEC.4.综上所述CD__CE（理由：_____________________）全等三角形对应边相等ODOE,CODCOE,OCOC,（公共边）=【总结提升】运用圆心角定理时应注意的两个问题1.圆心角、弧、弦之间的关系的结论必须在同圆或等圆中才能成立.2.一条弦所对的弧有两条,应用时应注意区分.知识点2垂径定理及其应用【例2】如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD间的距离.【思路点拨】过圆心作两条弦的垂线,再通过连结圆心与弦的端点构造直角三角形,利用勾股定理求出AB和CD的距离.【自主解答】分别过点O作弦AB，CD的垂线，设垂足分别为E，F,∵AB=30cm,CD=16cm,在Rt△AOE中，(cm).在Rt△OCF中，∴EF=OF-OE=15-8=7(cm).11AEAB3015cm,2211CFCD168cm.222222OEOAAE171582222OFOCCF17815cm，【总结提升】在运用垂径定理时辅助线的作法及两点注意1.辅助线作法:有关圆内弦的长度计算,一般情况下,经常过圆心作垂直于弦的半径,构建直角三角形.2.两点注意:(1)这里的垂径可以是直径、半径,也可以是过圆心的直线或线段.(2)条件中的“弦”可以是直径,结论中的“平分弧”既意味着平分弦所对的劣弧,又意味着平分弦所对的优弧.题组一:圆心角、弧、弦之间的关系1.已知AB与A′B′分别是☉O与☉O′的两条弦,AB=A′B′,那么∠AOB与∠A′O′B′的大小关系是()A.∠AOB=∠A′O′B′B.∠AOB∠A′O′B′C.∠AOB∠A′O′B′D.不能确定【解析】选D.由弦相等推弦所对的圆心角相等,必须保证在同圆或等圆中.而☉O与☉O′不一定是等圆,所以∠AOB与∠A′O′B′的大小关系不能确定.2.如图,已知：AB是⊙O的直径,C，D是上的三等分点,∠AOE=60°,则∠COE是()A.40°B.60°C.80°D.120°BE【解析】选C.∵∠AOE=60°,∴∠BOE=180°-∠AOE=120°,∴的度数是120°.∵C，D是上的三等分点,∴与的度数都是40°,∴∠COE=80°.BEBECDED3.如图，在⊙O中，∠C=70°，则∠B=______度，∠A=______度.【解析】∴∠B=∠C=70°，∠A=180°-2∠C=40°.答案：7040ABAC，ABACABAC，，4.如图,AB是☉O的直径,BC,CD,DA是☉O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD=________.【解析】连结OC,OD，∵BC=CD=DA，∴∠AOD=∠DOC=∠COB.∵∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴△AOD,△DOC,△COB都为等边三角形，ADDCCB，∴∠BCO=∠DCO=60°，∴∠BCD=60°+60°=120°.答案：120°5.已知：如图，在⊙O中，AB=CD.求证：∠AOC=∠BOD.【证明】即∴∠AOC=∠BOD.ABCDABCD，，ABBCCDBC，ACBD，题组二：垂径定理及其应用1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()A.CM=DMB.C.∠ACD=∠ADCD.OM=MDCBDB【解析】选D.∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立.CDCBDB，2.（2013·温州中考）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是()【解析】选B.在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，则A.3B.5C.15D.171BCAB22，22OBBCOC5.3.（2013·上海中考）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为______.【解析】如图，OD⊥AB，由垂径定理得所以由勾股定理得答案：1ADAB22，2222ODAOAD325.54.(2013·襄阳中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为________m.【解析】如图所示,过点O作OD⊥AB交AB于点C,交圆于点D,连结OB.在☉O中,∵OD⊥AB,∴AC=BC=0.4m.∵OB=0.5m,BC=0.4m,∴OC=0.3m,∴CD=0.5-0.3=0.2(m).答案:0.25.如图,在同一平面内,有一组平行线l1,l2,l3,相邻两条平行线之间的距离为4,点O在直线l1上,☉O与直线l3的交点为A,B,AB=12,求☉O的半径.【解析】过点O作OC⊥AB于C，连结OA.在Rt△AOC中，∠ACO=90°，OC=4×2=8，∴⊙O的半径为10.11ACAB126.222222OAACOC6810,6.(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径.【解析】由垂径定理得设圆O半径为xm,则OF=(x-1)m.在Rt△OBF中,根据勾股定理得x2=1.52+(x-1)2,解得x=1.625,即圆O的半径是1.625m.1BFAB1.5m,OEAB,2【想一想错在哪？】在半径为1的圆中,有两条弦AB,AC,其中求∠BAC的度数.AB3,AC2,提示:圆心O与两条弦AB,AC所组成的∠BAC的位置关系有两种情况:一种是圆心O在∠BAC的内部,另一种是圆心O在∠BAC的外部,这样得到的∠BAC的度数就有两个.解题时忽略圆心O在∠BAC的外部的情况,导致答案不完整,出现错误.