九年级数学下册 第28章圆28.1圆的认识 2圆的对称性课件 华东师大版

2.圆的对称性1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系.2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的能力.问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？解析：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后重叠.●O利用折叠的方法即可解决上述问题.圆也是旋转对称图形.用旋转的方法可解决下面问题.将图1中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？B′A′扇形AOB旋转到扇形A′OB′的位置，我们可以发现，在旋转过程中，∠AOB=∠A′OB′,AB=A′B′图1ABO图2ABOABAB在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等.在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等.在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等.AB=CD∴⌒⌒解：∵DCOBA12例1、如图，在⊙O中，∠1＝45°，求∠2的度数.⌒⌒AC=BD，∴∠2＝∠1＝45°⌒⌒AC=BD∴AC－BC＝BD－BC⌒⌒⌒⌒【例题】我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.(1)试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等分，4等分，8等分.OOO(2)动手操作，观察猜想.操作：CD是圆0的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒AB••OCDE┐••(3)指导论证，引申结论.求证：AE=BE,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E，分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论.•AB•••CDE┐••O垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）垂直于弦判断题：(1)过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦(3)⊙O中，OE⊥弦AB于E，则AE=BE错错对•ABCDE(1)•ABCDE(2)O•ABE(3)OO【跟踪训练】【证明】连结AO、BO，∵AO=BO∴△AOB为等腰三角形∵AE=BE∴CD⊥AB∵CD是直径，∴例1、如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE求证：CD⊥AB，AB••OCDE••AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧.AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒••五个条件(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧•规律知二推三【规律方法】例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径•oABE└解：连结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE∵AB=8cm∴AE=4cm在Rt△AOE中有OA===5（cm）∴⊙O的半径为5cm22OEAE2243解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了.1.在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是cm2.在圆O中弦CD=24，圆心到弦CD的距离为5,则圆O的直径是.3.如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=16，BE=4,则CD=.答案：3答案：26答案：16•ABDCEO•CDOEE•CDO【跟踪训练】例3如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB=cm，求∠OAB的度数.解：过O作OD⊥AB于点D,则AD=BD∵AB=cm∴AD=cm∵⊙O的直径为4cm∴OA＝2cm在Rt△OAD中cos∠OAB＝=∴∠OAB＝30°323ADOA23你还有没有其他方法？•oAB┐D321.（安徽·中考）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为（）【答案】D10322313BCDA2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A.19B.16C.18D.20【答案】D【答案】B3.（烟台·中考）如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连结AE，BE，则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤正确结论的个数是（）A.2B.3C.4D.5AE=1AEB2⌒⌒CBE0AD4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A.AE=OEB.CE=DEC.OE=CED.∠AOC=60°12．【答案】B5.（潍坊·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）．A.5cmB.2.5cmC.2cmD.1cm【答案】D【规律方法】运用垂径定理及推论解决一些数学问题，最常见的辅助线是连结圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.1.对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上.圆、弦又关于直径所在的直线对称.2.关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题从来没有人读书，只有人在书中读自己，发现自己或检查自己.——罗曼•罗兰