第二十八章锐角三角函数28.1锐角三角函数第1课时1.理解正弦的定义,并能运用sinA表示直角三角形中两边的比.(重点)2.能灵活运用正弦的定义进行计算.(难点)1.直角三角形中∠A的对边与斜边的比值:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,由“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”得∠A的对边与斜边的比值=__.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,所以Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得AB=BC,所以∠A的对边与斜边的比值=____.12222(3)如图,∠A的大小确定时,作出Rt△AB1C1,Rt△AB2C2和Rt△AB3C3…这些三角形有何关系?这些直角三角形中∠A的对边与斜边的比值有何关系?提示:∵∠A是公共角,∠B1C1A=∠B2C2A=∠B3C3A=…,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3∽…,∴=….【总结】当直角三角形中的一个锐角A的大小确定时,它的_____与斜边的_____就确定.331122123BCBCBCABABAB对边比值2.正弦的定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的_____a与_____c的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=_________=___.斜边对边A的对边斜边ac(打“√”或“×”)(1)sinA表示sin与A的乘积.()(2)sinA表示∠A的邻边与斜边的比值.()(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,则sinB=.()(4)在△ABC中,sinA=.()ACABBCAC××√×知识点1求锐角的正弦值【例1】如图,在Rt△ACB中,∠C=90°.(1)若AC=6,BC=8,求sinB的值.(2)若sinB=,求sinA的值.35【解题探究】(1)①已知AC和BC,要求sinB的值,需先求得什么?提示:需由勾股定理,先求斜边AB的长.∵AC=6,BC=8,∴AB==10.②如何求出sinB的值?提示:sinB=2268AC3.AB5(2)①根据sinB=,设AC=3k,如何表示其他两边的长度?提示:∵sinB=,设AC=3k,则AB=5k,∴②如何求出sinA的值?提示:sinA=353522BCABAC4k.-BC4.AB5【互动探究】sinB=,是指∠B的对边为3,斜边为5吗?提示:不一定,sinB=是指∠B的对边与斜边的比值为35353.5【总结提升】求锐角的正弦值的三类型1.没有直接给出对边或斜边的题目,一般先根据勾股定理,求出所需的边长再求解.2.没有给出图形的题目,一般应根据题目,画出符合题意的图形,弄清所求角的对边与斜边.3.题目中给出的角不是在直角三角形中,应先构造直角三角形再求解.知识点2已知锐角的正弦值求三角形的边长【例2】(1)在△ABC中,∠C=90°,BC=2,sinA=,则边AC的长是()A.B.3C.D.13(2)在△ABC中,∠C=90°,AC=2,sinA=,则边BC的长是______.【思路点拨】(1)先根据正弦的定义及已知条件求AB的长度,再利用勾股定理即可求解.(2)设边BC的长为2k,用含k的代数式表示AB的长,根据勾股定理列方程求解.2354325【自主解答】(1)选A.∵sinA=,BC=2,∴AB=3.∴(2)∵sinA=,设BC的长为2k,∴AB=5k.则(2k)2+22=(5k)2,解得答案:BC2AB32222ACABBC325.--BC2AB5221421421k2k,BC.212121,42121【总结提升】已知锐角的正弦值及一边,求直角三角形另两边的“两类型”1.已知锐角的正弦及角的对边或斜边时,直接根据定义求斜边或对边,再根据勾股定理求另一边.2.若已知锐角的正弦及邻边时,可根据正弦的定义确定另外两边的比值,结合勾股定理列方程求解.题组一:求锐角的正弦值1.把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的正弦函数值()A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定【解析】选A.由于△ABC与三边的长度都扩大为原来的3倍后的三角形相似,则锐角A的对边与斜边的比值不变.132.(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sinA的值是()A.B.C.D.【解析】选C.sinA=34434535BC3.AB53.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示.则sinα的值是()A.B.C.D.【解析】选C.设正方形网格的边长是1,由图可知,∠α的对边为3,邻边为4,斜边为=5,则sinα=.34433545223435【方法技巧】网格中求三角函数的三步骤1.在网格中求锐角的三角函数常将小正方形的边长设为单位“1”.2.根据勾股定理求得三角形的各边长.3.根据三角函数的概念求解.4.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=2BC,则sinB的值为()A.B.C.D.1【解析】选C.设BC=m,则AB=2m,根据勾股定理可求得AC=m.sinB=AC3m3.AB2m212223235.如图,角α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(3,4),则sinα=_________.【解析】∵P点坐标为(3,4),∴OP==5,∴sinα=答案:22344.5456.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若2a=c,则∠A的正弦值等于______.【解析】由正弦的概念可知,sinA=答案:3a3.c2327.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AB=17,求∠A与∠B的正弦值.【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AB=17,∴AC==15,2222ABBC178BC8AC15sinA,sinB.AB17AB17题组二:已知锐角的正弦值求三角形的边长1.在△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,sinA=则AB的长是()A.3cmB.4cmC.5cmD.10cm【解析】选D.在Rt△ACB中,BC=6cm,sinA=∴AB=10cm.3BC5AB=,35,2.在△ABC中,∠C=90°,BC=9cm,sinB=,则AB的长是_______.【解析】∵∠C=90°,sinB=,∴,设AC为4k,AB为5k,则,∴3k=9cm,∴k=3cm,∴5k=15cm.答案:15cm4545AC4AB522BC5k4k3k-3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,sinA=,AB=15,求△ABC的周长.【解析】在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=15,∵sinA=∴BC=12,∴△ABC的周长为15+12+9=36.45BC4,AB52222ACABBC15129,4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,sinA=,求△ABC的面积是多少?【解析】∵sinA=∴BC=AB=×13=5,∴∴S△ABC=AC·BC=×12×5=30.513BC5AB13,5135132222ACABBC13512--1212【想一想错在哪?】在Rt△ABC中,AC=3,BC=4.求sinA的值.提示:漏掉了BC为斜边,∠A为直角的情况!