九年级数学下册 第27章相似 27.2相似三角形 1 相似三角形的判定第4课时习题课件 新人教版

27.2.1相似三角形的判定（第4课时）1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.（重点）2.掌握“斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似”.（重点）3.灵活运用三角形相似的判定方法，并能运用三角形相似的条件解决简单的问题.（重点、难点）一、三角形相似的条件1.操作探究：作△ABC和△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E：(1)∠C与∠F的大小关系是：_____.(2)分别度量这两个三角形的边长，计算的值，可以发现，它们的值_____.（3）根据你的计算，猜想这两个三角形的关系是_____.相等ABBCACDEEFDF，，相等相似2.证明猜想：如图：△ABC和△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E.求证：△ABC∽△DEF.请将证明过程补充完整：在线段DE上截取DM=AB，过点M作MN∥EF，交DF于点N.∴△DMN∽______，∠DMN=∠E，又∵∠B=∠E，∴∠B=∠DMN，又∵∠A=∠D，AB=DM，∴△ABC≌_______.∴△ABC∽△DEF.【总结】_____对应相等，两个三角形相似.△DEF△DMN两角二、直角三角形相似的判定1.有_________对应相等的两个直角三角形相似.2.两组___________对应相等的两个直角三角形相似.3._________等于_______________的两个直角三角形相似.一个锐角直角边的比斜边的比一组直角边的比（打“√”或“×”）（1）等腰直角三角形都相似.（）（2）有一组角对应相等的两个等腰三角形相似.（）（3）有一组角对应相等的两个直角三角形相似.（）(4)直角三角形与该三角形中被斜边上的高分成的两个较小的直角三角形彼此相似.（）√××√知识点1应用两角相等判定三角形的相似【例1】如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）.(2)请分别说明（1）中两对三角形相似的理由.【思路点拨】∠BAD=∠CAE→∠BAC=∠DAE→△ABC∽△ADE→对应边的比相等→△ABD∽△ACE.【自主解答】(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE.(2)①证△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE.②证△ABD∽△ACE．∵△ABC∽△ADE，∴则又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.ABACADAE，ABAD.ACAE【总结提升】相似三角形的三类构图1.类型为平行线型（如图）.2.类型为相交线型（如图）.3.类型为旋转型（如图）.知识点2直角三角形相似的判定【例2】已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，且CD∶C′D′=AC∶A′C′.证明：△ABC∽△A′B′C′．【解题探究】1.要证△ABC∽△A′B′C′，需要证明什么？提示:需要证：∠A=∠A′或∠B=∠B′.2.要证明1中的条件，需证明什么？条件是否具备？提示:需证明：Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，这两个直角三角形相似的条件已经具备：CD∶C′D′=AC∶A′C′.3.根据1，2的解题思路完成证明过程.提示:证明如下：∵CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，∴∠ADC=∠A′D′C′=90°，又∵CD∶C′D′=AC∶A′C′，∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，∴∠A=∠A′.又∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∴△ABC∽△A′B′C′.【互动探究】△DBC与△D′B′C′相似吗？为什么？提示:相似，由题中的结论可知∠B=∠B′，所以△DBC∽△D′B′C′.【总结提升】判定直角三角形相似的两个思路1.找角：找直角三角形的一个锐角对应相等.2.找边：（1）找两组直角边的比相等.（2）找斜边的比和一直角边的比对应相等.题组一:应用两角相等判定三角形的相似1.(2013·淄博中考)如图,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,∠BDA=90°,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=e则下列等式成立的是()A.b2=acB.b2=ceC.be=acD.bd=ae【解析】选A.∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，又∵∠C=∠BDA，∴△CDB∽△DBA，∴，即，根据比例的基本性质，得bd=ce，b2=ac，be=ad.CBCDDBDADBBAdcbeba2.如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB：_____.【解析】∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB.要使三角形相似，如根据两角对应相等，两三角形相似，则可加∠B=∠E或∠D=∠C；若根据两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似，则可添加答案:∠B=∠E或∠D=∠C或ADAEACABADAE.ACAB3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长为______.【解析】因为∠A=∠A，∠ACD=∠B，所以△ABC∽△ACD，所以，所以，即AD=答案:ACABADAC45AD416.51654.如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．求证：△ABD∽△CED．【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分线，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．5.如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论.【解析】△ABE与△ADC相似．理由如下：在△ABE与△ADC中，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°.∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE∽△ADC．题组二:直角三角形相似的判定1.如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC,则图中与△ABC相似的三角形的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】选A.因为AB是直径，所以∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，所以有∠B=∠EDA=∠ECD，由此分析可知△CDE，△CDA，△AED，△BCD都与△ABC相似．2.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于()A.B.C.D.AODO253132312【解析】选D.∵AF⊥DE，四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠AOD=90°.又∵∠ADO=∠EDA，∴△DAO∽△DEA，∴∴又∵E为AB的中点，∴即AEAD,AODOAOAE,DOADAE1AD2，AO1.DO23.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（）A．3B．4C．5D．6【解析】选C.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=10，∴AD=AB=5.ADDE1.ABBC2124.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.半径为1的圆的圆心P以1个单位/s的速度由点A沿AC方向在AC上移动，设移动时间为t（单位：s）.当t=_________s时，⊙P与AB相切.【解析】当⊙P在移动中与AB相切时，设切点为M，连接PM，则∠AMP=90°.∴△APM∽△ABC，∴∵AP=t,AB==5,∴，∴t=.答案:APPM.ABBC22ACBCt15353535.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2＝AD·AC.【证明】∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴AB2=AD·AC.ABADACAB【归纳整合】证明等积式的思路1.先把等积式转化成比例式.2.应用三点定形法确定所需证明相似的三角形：（1）横向定形：观察比例式的分子和分母，根据各自两条线段中不同的三个字母确定要证的三角形.（2）纵向定形：等号左右两边的分子、分母所包含的不同的三个字母进行定形.（3）若出现四个字母或三个字母所表示的点在同一条直线上，则考虑通过相等的线段进行转化.3.证明所确定的三角形相似.6.（2012·铁岭中考）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.（1）求证：△ABE∽△DBC.（2）求线段AE的长.【解析】（1）∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC.∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°，∴△ABE∽△DBC.（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE，∴BD=2BE.由△ABE∽△DBC，得∵AB=AD=25，BC=32，∴，∴BE=20.∴AE==15.ABBE,BDBC25BE2BE322222ABBE2520【想一想错在哪？】如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD=3，BD=4，DE=3，AC=5，若∠B=∠AED，求BC的长.提示:注意相似三角形的边之间的对应关系.