九年级数学下册 第27章二次函数27.3实践与探索 2实践与探索第2课时课件 华东师大版

第2课时1.已知函数y=-x2-2x+3．(1)画出该函数的大致图象；(2)∵y=-x2-2x+3=-(x___)2+__,∴对称轴x=___,顶点坐标为(___,__)；(3)图象与两坐标轴的交点坐标分别为：与x轴交点(___,0),(__,0),与y轴交点(0,__)；当x=___或x=__时,y=0,即与x轴交点的___坐标就是一元二次方程-x2-2x+3=0的两个___；[phone]横解(4)函数y=-x2-2x+3图象在x轴的上方就是说y__0,此时x在图象与x轴两交点之间取值,即_______；函数y=-x2-2x+3图象在x轴的下方就是说y__0,此时x在图象与x轴交点(___,0)的左边或在交点(1,0)的右边取值,即x____或x___．-3x1-3-312.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标为(1.5,0),(25,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的解分别为x1=____,x2=___；二次函数y=(x+7)(x-1)的图象与x轴的交点坐标为(___,0),(__,0),与y轴的交点坐标为(0,___)．1.525-71-73.函数y=-x+30与y=x2相交于点(___,___),(__,___)，则一元二次方程x2+x-30=0的解为：x1=___,x2=__．【点拨】二次函数的图象与x轴的交点的横坐标就是相对应的一元二次方程的解．-636525-65【预习思考】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点说明一元二次方程ax2+bx+c=0有什么性质？二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点又说明一元二次方程ax2+bx+c=0有什么性质？没有交点呢？提示：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点说明一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点说明一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点说明一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系【例1】(10分)(2012·珠海中考)如图，二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的关系式；(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.特别提醒:若不能准确判断二次函数与一次函数的图象的位置关系,易导致解题错误．【规范解答】(1)将点A(1,0)代入y=(x-2)2+m得,(1-2)2+m=0，………………………………………………1分∴1+m=0,∴m=-1,……………………………………………………2分则二次函数关系式为y=(x-2)2-1.………………………3分当x=0时，y=4-1=3,故C点坐标为(0,3),………………………………………4分由于C和B关于二次函数图象的对称轴对称，设B点坐标为(x,3),令y=3，有(x-2)2-1=3,解得x=4或x=0，……………………5分则B点坐标为(4,3).…………………………………………6分设一次函数解析式为y=kx+b.将A(1,0)，B(4,3)代入y=kx+b得,……………………………………………………7分解得则一次函数关系式为y=x-1.…………………………………8分k,b304kb，1,1,bk____________(2)∵A，B坐标分别为(1,0),(4,3),∴当kx+b≥(x-2)2+m时，1≤x≤4.…………………………10分【规律总结】关键要点方法技巧二次函数与一元二次方程的关系b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0二次函数y=ax2+bx+c转化法b2-4ac0图象与x轴只有两个交点(x1,0),(x2,0)b2-4ac=0图象与x轴只有一个交点b2-4ac0没有实数根图象与x轴没有交点2122bb4acx2abb4acx2a12bxx2ab(,0)2a【跟踪训练】1.(2012·滨州中考)抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0【解析】选A.因为Δ=(-1)2-4×(-3)×4=49＞0，所以该抛物线与x轴有2个交点,与y轴有1个交点，共有3个交点.2.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为________．【解析】依题意得二次函数y=-x2+2x+m的对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(3,0),∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1-(3-1)=-1,∴交点坐标为(-1,0)，∴当x=-1或x=3时,函数值y=0,即-x2+2x+m=0,∴关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3.答案：x1=-1,x2=33.已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示,根据其中提供的信息,可求得使y≤1成立的x的取值范围是__________．【解析】观察图象得,x=-1或x=3时,y=1；当y≤1时,x的取值范围是-1≤x≤3.答案：-1≤x≤3利用函数图象求一元二次方程(组)的解【例2】利用函数图象,求方程x2+2x-3=0的解．【解题探究】1.如何利用二次函数y=ax2+bx+c图象确定一元二次方程ax2+bx+c=0的解？答：画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，找到二次函数图象与x轴的交点的横坐标，所得的横坐标的值就是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.根据1的分析,作出二次函数y=x2+2x-3的图象,3.根据图象找出二次函数与x轴的交点的坐标分别为:A(-3,0);B(1,0).4.根据以上分析可知一元二次方程x2+2x-3=0的解为:x1=-3;x2=1.【规律总结】利用函数图象求ax2+bx+c=0(a≠0)的近似解的两种方法1.先画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,再列表取值,即在函数图象与x轴的交点两侧的两个整数之间,根据精确度要求写出方程的近似解.2.把方程ax2+bx+c=0化为然后分别画出函数y=x2和的图象,交点的横坐标即是一元二次方程的解.2bcxx0.aabcyxaa【跟踪训练】4.根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a，b，c为常数)一个解的范围是()(A)3＜x＜3.23(B)3.23＜x＜3.24(C)3.24＜x＜3.25(D)3.25＜x＜3.26x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09【解析】选C.函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间,∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25.5.小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法,请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x2-x-1=0的两个解．(1)解法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)．(2)解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解．如图,把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=x2-x-1的图象与x轴交点的横坐标，即x1,x2就是方程的解．(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2-x-1=0的解看成是二次函数y=x2-1的图象与一次函数y=x的图象交点的横坐标.②画出这两个函数的图象,用x1,x2在x轴上标出方程的解.请分别用上面的解法进行求x2-x-1=0的解.【解析】(1)由原方程,得：即解得215(x)0,24215(x);24125151x,x.22(2)如图，二次函数y=x2-x-1的图象与x轴的交点分别为二次函数y=x2-x-1与x轴交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解，所以方程x2-x-1=0的解为5151(,0),(,0).22151x,2251x.2(3)如图，二次函数y=x2-1与一次函数y=x的交点坐标分别为二次函数y=x2-1与一次函数y=x的交点的横坐标就是方程x2-x-1=0的解，所以方程x2-x-1=0的解为51515151(,),(),2222，125151xx.22，1.(2011·襄阳中考)已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()(A)k4(B)k≤4(C)k4且k≠3(D)k≤4且k≠3【解析】选B.当k-3=0即k=3时,此函数为一次函数,它的图象与x轴有交点；当k-3≠0即k≠3时,此函数为二次函数,因为它的图象与x轴有交点,则Δ=22-4×(k-3)×1≥0且k≠3,解得k≤4且k≠3.综上,k的取值范围是k≤4,故选B．2.小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试：在直角坐标系中作出二次函数y=x2+2x-10的图象,由图象可知,方程x2+2x-10=0有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间.利用计算器进行探索：由下表知,方程的一个近似根是()(A)-4.1(B)-4.2(C)-4.3(D)-4.4x-4.1-4.2-4.3-4.4y-1.39-0.76-0.110.56【解析】选C.当x由-4.1向-4.3变换过程中，y值一直在增大,并越来越接近0,当x=-4.4时,y值大于0,则方程的一个根在-4.3和-4.4之间,x=-4.3时的y值比x=-4.4时更接近0,所以方程的一个近似根为：-4.3．3.(2011·浙江中考)已知抛物线y=x2-5x+2与y=ax2+bx+c关于点(3,2)对称,则3a+3c+b=_________．【解析】设(x,y)是y=ax2+bx+c上的一点,其关于(3,2)的对称点(x1,y1)在y=x2-5x+2上,所以所以x1=6-x,y1=4-y,所以4-y=(6-x)2-5(6-x)+2,即y=-x2+7x-4,所以a=-1,b=7,c=-4,所以3a+3c+b=-8．答案：-811xxyy3,2,224.抛物线y=x2-2x+0.5的图象如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解为_________(精确到0.1)．【解析】根据图象得，抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点分别是(0.3,0)，(1.7,0),又∵抛物线y=x2-2x+0.5与x轴的两个交点的横坐标就是方程x2-2x+0.5=0的两个根,∴方程x2-2x+0.5=0的两个近似根是0.3或1.7．答案：0.3或1.75.已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-m(m是常数,且m≠0).(1)证明：不论m取何值时,该二次函数图象总与x轴有两个交点.(2)设与x轴两个交点的横坐标分别为x1,x2(其中x1＞x2),若y是关于m的函数,且y=,结合函数的图象回答：当自变量m的取值满足什么条件时,y≤2.21x1x【解析】(1)由题意有b2-4ac=［-(2m-1)］2-4(m2-m)=1＞0．∴不论m取何值时,该二次函数图象总与x轴有两个交点.(2)令y=0,解关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-m=0,得x=m或x=m-1．∵x1＞x2,∴x1=m,x2=m-1．∴画出y=与y=2的图象.如图,21xm11y11.xmm1m由图象可得,当m≥或m＜0时,y≤2．12