九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索（第2课时）课件 华东师大版

§27.3实践与探索(第2课时)1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.3.理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是抛物线y=ax2+bx+c与y=h交点的横坐标.4.掌握一元二次方程及一元二次方程组的图象解法．育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程的解时，几乎所有学生都是将方程化为，画出函数的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y=x2和的图象，如图，认为它们交点A，B的横坐标和2就是原方程的解.21xx3221x-x-30221yx-x-321yx3223图26.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论．你对这两种解法有什么看法？利用图象，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．（1）x2+x-1=0（精确到0.1）.（2）2x2-3x-2=0．【做一做】利用图（1），运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理.（1）x2+x-1＝0（精确到0.1）；2xy1xy（1）利用图（2），运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．（2）2x2-3x-2＝0．2xy123xy图（2）问题中实际上提出了一元二次方程的两种图象解法.这两种近似解法都是可行的.但是，小刘的做法比其他同学的做法要来得简便.因为画抛物线远比画直线困难，所以小刘只要事先画好一条抛物线y=x2的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线.其他同学的办法则每次都要根据题意画一条抛物线，极其麻烦.2axbxc0(a0)2bcxx0aa2yxbcy-x-aa一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解.2axbxc0(a0)【规律方法】根据图象回答下列问题．（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？例1.画出函数的图象，2yx-2x-32x-2x-30（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？【例题】（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当-1＜x＜3时，y＜0．2x-2x-30解:图象如图（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．（2）当x=-1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．【回顾与反思】（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．A（α，0），B（β，0），且，则k的值是________________.的最低点在x轴上，则a=.（3）已知抛物线与x轴交于两点当k=时，抛物线与x轴相交于两点．（2）已知二次函数的图象2y2(k1)x4kx2k-32y(a-1)x2ax3a-22yx-(k-1)x-3k-22217例2.（1）已知抛物线，分析:（1）抛物线与x轴相交2y2(k1)x4kx2k-3于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式△＞0．22(k1)x4kx2k-30的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两2y(a-1)x2ax3a-22(a-1)x2ax3a-20（2）二次函数个实数根相等，即△=0，且a-10．2yx-(k-1)x-3k-2（3）已知抛物线与x轴交于两点利用根与系数的关系即可得到结果．2217以及A（α，0），B（β，0），即α,β是方程2x(k的两个根，又由于，1)x3k20222()-22y-x(m-2)xm1例3.已知二次函数（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？2y-x(m-2)xm12-x(m-2)xm10分析:（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即△＞02-x(m-2)xm1012xx012xx0（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，③因而必须符合条件①△＞0，②．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点有三种情况：有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.【规律方法】1.抛物线y=x2+2x-3与x轴的交点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点，则其顶点坐标为_____________.13(-,)24C【跟踪训练】3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是.4.若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A.无交点B.只有一个交点C.有两个交点D.不能确定xy05Cx1=0，x2=55.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有______个交点.6.已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿.7.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2=,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿___________.1116（，0）3535（-2，0）8.根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A.3x3.23B.3.23x3.24C.3.24x3.25D.3.25x3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3；③当x＞1时，y值随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（）A.①B.①②C.①②③D.①②③④Oxy13－1【答案】DOxyAx=2BA.（2，3）B.（3，2）C.（3，3）D.（4，3）2.（河北·中考）如图,已知抛物线2yxbxc的对称轴为x2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）【答案】D·Oyx12yx-mx33.（株洲·中考）二次函数的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是．【答案】44.（汕头·中考）已知二次函数的图2y-xbxc象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的关系式.（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．-1-bc0,c3,b2,c3,2y=-x+2x+3【解析】（1）由题意得解得故所求关系式为y01x-12x3解得∴由图象可知函数值y为正数时，自变量x的取值范围是－1＜x＜3．2-x2x30（2）令，(3,0)∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2）若该函数图象的对称轴为直线,试求二次函数的最小值．x=15.（咸宁·中考）已知二次函数的图象2y=x+bx-c与x轴两交点的坐标分别为(m，0）,（-3m,0)（）m024c=3b.（1）证明:22y=x-2x-3=(x-1)-42233c=b=(-2)=344由（1）得∴二次函数的最小值为-4.m,-3m是一元二次方程【解析】（1）依题意，2x+bx-c=0的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得,m+(-3m)=-bm(3m)c224c=3b=12m.∴，b=2m2c3mb-=12b=-2（2）依题意，，6.（梧州·中考）如图，A（-1，0），B（2，-3）两点在一次函数y1=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象上.（1）求m的值和二次函数的关系式.（2）请直接写出y1y2时，自变量x的取值范围.a-b-30,4a2b-3-3,a1,b-2.解得【解析】（1）把A（－1，0）代入y1=－x+m得：0=－（-1）+m，∴m=-1.把A（－1，0），B（2，－3）两点代入y2=ax2+bx－3得∴y2=x2-2x－3.（2）当y1y2时，-1＜x＜21.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是两个不相等的实根，两个相等实根，没有实数根，图象上对应x轴交点的个数是两个，一个，没有.3.在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法.奋斗，是理想与毅力合成的混凝土，它能架成通向彼岸的桥梁.——巴金