九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 3求二次函数的关系式习题课件 华东师大

3.求二次函数的关系式1.能利用待定系数法求二次函数的关系式.(重点)2.能够通过分析已知条件,确定所求二次函数关系式的形式.(重点、难点)确定二次函数关系式的方法1.当已知抛物线上任意三点的坐标时,通常设二次函数的关系式为一般式y=______________,然后列出_______________,解方程组得出a,b,c的值,从而求得二次函数的关系式.ax2+bx+c(a≠0)三元一次方程组2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点的坐标时,通常设顶点式y=_________,求解二次函数的关系式.3.当已知抛物线与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)或与x轴交点的横坐标为x1,x2时,通常设交点式y=_____________,求解二次函数的关系式.a(x-h)2+ka(x-x1)(x-x2)(打“√”或“×”)(1)已知对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么在设抛物线关系式时最好选用的形式是y=ax2+bx+c.()(2)抛物线y=ax2向上平移2个单位后,经过点P(1,3),则a=1.()(3)如果一条抛物线的形状与的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),那么它的函数关系式为()21yx2321y(x4)2.3×√×知识点1确定二次函数的关系式【例1】(2013·宁波中考)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的关系式和顶点坐标.(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的关系式.【思路点拨】(1)与x轴交于A,B两点,可设为交点式,再将点C代入,求出抛物线的关系式,再通过配方求出顶点坐标.(2)根据点的平移规律及平移前后顶点坐标的变化进行解答.【自主解答】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线关系式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入得:3a=-3,解得:a=-1,故抛物线关系式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标(2,1).(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的关系式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上.(答案不唯一)【总结提升】确定二次函数关系式的四个步骤1.设:按已知条件设出二次函数关系式的相关形式.2.列:根据题意列出方程或方程组.3.解:解方程或方程组.4.定:确定函数关系式.知识点2求实际问题中二次函数y=ax2+bx+c的关系式【例2】为了落实国家的惠农政策,某地方政府制定了农户投资购买收割机的补贴办法,其中购买Ⅰ、Ⅱ型收割机所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系:型号金额Ⅰ型收割机Ⅱ型收割机投资金额x(万元)x5x24补贴金额y(万元)y1=kx(k≠0)2y2=ax2+bx(a≠0)2.43.2(1)分别求出y1和y2的函数关系式.(2)尼玛次仁准备投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种收割机.请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.【思路点拨】(1)利用待定系数法直接就可以求出y1与y2的关系式.(2)设总补贴金额为W万元,购买Ⅰ型收割机a万元,购买Ⅱ型收割机(10-a)万元,建立函数关系式即可求解.【自主解答】(1)将x=5,y1=2代入y1=kx,得2=5k,解得k=0.4,将x=2,y2=2.4;x=4,y2=3.2代入y2=ax2+bx,得解得∴y1的函数关系式为y1=0.4x,y2的函数关系式为y2=-0.2x2+1.6x.2.44a2b,3.216a4b,a0.2,b1.6,(2)设总补贴金额为W万元,购买Ⅰ型收割机a万元,则购买Ⅱ型收割机(10-a)万元,由题意,得W=0.4a+[-0.2(10-a)2+1.6(10-a)]=-0.2(a-7)2+5.8.∴当a=7时,W有最大值5.8万元,∴买Ⅰ型收割机7万元,Ⅱ型收割机3万元可以获得最大补贴5.8万元.【总结提升】求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意1.三个步骤：(1)根据二次函数关系式及已知条件列出关于未知系数的方程组.(2)解方程组,求出未知系数,求出二次函数的关系式.(3)利用二次函数的关系式解决有关问题.2.两点注意:(1)列方程组时,数值不要代错.(2)列出实际问题的函数关系式时,应注意自变量的取值范围.题组一:确定二次函数的关系式1.一个二次函数的图象经过点A(0,0),B(-1,-11),C(1,9)三点,则这个二次函数的关系式是()A.y=-10x2+xB.y=-10x2+19xC.y=10x2+xD.y=-x2+10x【解析】选D．由于抛物线经过原点，则可以设其函数关系式为y=ax2+bx，将B，C两点坐标代入，得解得所以抛物线的函数关系式为y=-x2+10x．ab11,ab9,a1,b10,2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1,0),(3,0),其形状与抛物线y=-2x2相同,则y=ax2+bx+c的函数关系式可以为()A.y=-2x2-x+3B.y=-2x2+4x+5C.y=-2x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6【解析】选D.结合选项,根据题意知a=-2,所以设y=-2(x-x1)(x-x2),求出关系式y=-2(x+1)(x-3),即y=-2x2+4x+6.【变式备选】形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是x=-2,且过点(0,3)的抛物线是()A.y=x2+4x+3B.y=-x2-4x+3C.y=-x2+4x+3D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3【解析】选D.设所求抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c,由抛物线过点(0,3),可得:c=3,由抛物线形状与y=-x2-2相同,分为两种情况:①开口向下,则a0,又∵对称轴x=-2,则则b0,由此可得出y=-x2-4x+3符合题意;bx2,2a②开口向上,则a0,又∵对称轴x=-2,则则b0,由此可得出y=x2+4x+3符合题意,综合上述,符合条件的是选项D.bx2,2a3.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为________.【解析】设抛物线的关系式为y=a(x-2)2+1,由抛物线过点B(1,0),可得a=-1,所以y=-x2+4x-3.答案:y=-x2+4x-34.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:则该二次函数的关系式为________.x…-101…y…-2-20…3254129454123274【解析】由于二次函数经过（-1，-2），（0，-2），（1，0），则有：解得∴该二次函数的关系式为y=x2+x-2．答案：y=x2+x-2abc2, c2,abc0,a1,b1,c2,5．（2013·湖州中考）已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0).（1）求抛物线的关系式.（2）求抛物线的顶点坐标.【解析】（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0)，∴解得∴抛物线的关系式为y=－x2+2x+3.（2）抛物线的顶点坐标为（1,4）.93bc01bc0－，－－，b2c3，，题组二：求实际问题中二次函数y=ax2+bx+c的关系式1.巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米,此时喷水水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是()1222221A.y(x)321B.y3(x)121C.y8(x)321D.y8(x)32【解析】选C．根据图象知：抛物线开口向下，顶点为∴可设这支喷泉的函数关系式为把点（0，1）代入中，得a=-8，∴这支喷泉的函数关系式为1(3)2，，21ya(x)32，21ya(x)3221y8(x)3.22.在美丽的青岛市举行的苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛的比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的函数关系式是()21yxbxc422221313A.yxx1B.yxx144441313C.yxx1D.yxx14444【解析】选A．∵出球点B离地面点O的距离是1m，球落地点A到点O的距离是4m，∴点B的坐标为（0，1），点A的坐标为（4，0），将两点代入函数关系式得∴这条抛物线的函数关系式是31c,b,4044bc,c1,解得213yxx1.443.如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16m,跨度是40m,在线段AB上离中心M处5m的地方,桥的高度是________m.【解析】建立如图所示坐标系,设抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,已知抛物线经过(0,16),(-20,0),(20,0),可得16c,0400a20bc,0400a20bc,解得故抛物线的关系式为当x=5时，y=15．答案：151ab0c1625，，，21yx1625，4.“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥.如图1,桥上有五个拱形桥架紧密相连,每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱,气势雄伟,素有“天下黄河第一桥”之称;如图2,一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD3D1和其上方的抛物线D1OD3组成.若建立如图所示的直角坐标系,跨度AB=44m,∠A=45°,AC1=4m,点D2的坐标为(-13,-1.69),则桥架的拱高OH=________m.【解析】设抛物线D1OD3的关系式为y=ax2,将x=-13,y=-1.69代入,解得a=-0.01.∴抛物线D1OD3的关系式为y=-0.01x2.∵横梁D1D3=C1C3=AB-2AC1=36(m),∴点D1的横坐标是-18,代入y=-0.01x2得y=-3.24,又∵∠A=45°,∴D1C1=AC1=4m,∴OH=3.24+4=7.24(m).答案:7.245.某经销商销售一种圆盘,圆盘的半径为x(cm),圆盘的售价y与x成正比例,圆盘的进价与x2成正比例,售出一个圆盘的利润是P(元).当x=10时,y=80,P=30(利润=售价-进价).(1)求y与x满足的函数关系式.(2)求P与x满足的函数关系式.(3)当售出一个圆盘所获得的利润是32元时,求这个圆盘的半径.【解析】(1)由题意得,y=kx(k≠0),∵x=10时,y=80,∴10k=80,k=8.∴y与x满足的函数关系式为y=8x.(2)由题意,设进价为mx2,则P=y-mx2=-mx2+8x.∵当x=10时,P=30,∴30=-m·102+8×10,∴P与x满足的函数关系式为1m.221Px8x.2(3)由题意得,化简得,x2-16x+64=0,解得x1=x2=8.即这个圆盘的半径是8cm.21x8x32,2【想一想错在哪？】已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的关系式为______.提示:二次函数与x轴的另一交点到原点的距离为4,分这个交点坐标为(-4,0),(4,0)两种情况,解题时忽略交点坐标为(-4,0)的情况,导致解题错误.