九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 3 求二次函数的关系式课件 华东师大版

3.求二次函数的关系式1.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式.2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式.3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生应用数学的意识.二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点.这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角函数等综合在一起，出现在压轴题之中.因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的关系式是解决综合应用题的基础和关键.一、二次函数常用的几种关系式的确定已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式.已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.已知抛物线与x轴的交点坐标，通常选择交点式.1.一般式2.顶点式3.交点式4.平移式将抛物线平移，函数关系式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数用顶点式表示，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的关系式.2yaxbxc12ya(x-x)(x-x)2ya(x-h)k2ya(x-h)k转化思想解方程或方程组二、求二次函数关系式的思想方法1.求二次函数关系式的常用方法：2.求二次函数关系式的常用思想：3.二次函数关系式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合法等.无论采用哪一种关系式求解，最后结果都化为一般式.例1.已知二次函数的图象如图所示,求其关系式.2yaxbxc【例题】解法一：一般式∵顶点C（1，4），∴对称轴x=1.∵A(-1,0)关于x=1对称，∴B（3，0）.∵A(-1,0)，B（3，0）和C（1，4）在抛物线上，即：322xxy设关系式为2yaxbxc∴a-bc09a3bc0abc4a-1b2c3解法二：顶点式∵顶点C（1，4）又∵A(-1,0)在抛物线上，∴a=-1∴h=1,k=4.设关系式为2ya(x-h)k∴2ya(x-1)4∴20a(-1-1)4∴2y-(x-1)4即：2y-x2x3解法三：交点式∵抛物线与x轴的两个交点的坐标为A(-1,0)，B（3，0）∴y=a(x+1)(x-3)又∵C（1，4）在抛物线上∴4=a(1+1)(1-3)∴a=-1∴y=-(x+1)(x-3)设关系式为12ya(x-x)(x-x)12x-1,x3即：2y-x2x3本题可采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便.同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养.注重解题技巧的养成训练，可事半功倍.评析：【归纳升华】例2.已知：如图是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米.（1）求拱桥所在抛物线的关系式.（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度.船的高度指船在水面上的高度）.【例题】EF解：（1）由图可知：四边形ACBO是等腰梯形过A,C作OB的垂线AE,CF，垂足分别为E,F点.∴OE=BF=（12-8）÷2=2.∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）.又∵点A（-2，2）在图象上，设关系式为12ya(x-x)(x-x)∴a=-0.12a(-2-0)(-212)∴y-0.1x(x12)即：2y-0.1x-1.2xya(x-0)(x12)PQ(2)分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标.y=水位+船高=2.5+1.4=3.9＞3.6当水位为2.5米时，∴船不能通过拱桥.∴顶点（-6，3.6）,PQ是对称轴.∵2y-0.1x-1.2x∴2y-0.1(x6)3.6例3.将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的关系式.2yx2x6解：将二次函数的关系式2yx2x6转化为顶点式得：2y(x1)5（左加右减）2y(x14)5(2)再将向下平移3个单位得：2y(x14)5（上加下减）2y(x14)(5-3)即：所求的关系式为2yx10x27.(1)由向左平移4个单位得：2y(x1)51.已知二次函数的图象过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其关系式.解：设二次函数的关系式为y=a(x-h)2+k当x=1时，y有最小值为-1，∴顶点为（1，-1）.又（0，0）在抛物线上，∴a=1∴y=a(x-1)2-1∴0=a(0-1)2-1∴y=(x-1)2-1即：y=x2-2x【跟踪训练】2.已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图象上，求其关系式.解：设所求的关系式为y=a(x-x1)(x-x2)∵抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）又∵点（0，1）在图象上，∴a=-1∴x1=-1,x2=1∴y=a(x+1)(x-1)∴1=a(0+1)(0-1)即：y=-x2+1∴y=-(x+1)(x-1)3.如图：有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6米，跨度为7.2米.一辆卡车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？即当x=OC=1.6÷2=0.8米时，过C点作CD⊥AB交抛物线于D点，若y=CD≥3米，则卡车可以通过.分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高.解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，∴A（-3.6，0），B（3.6，0），P（0，3.6）.又∵P（0，3.6）在图象上，∴卡车能通过这个隧道.ya(x3.6)(x-3.6)设关系式为y=a(x-x1)(x-x2)∴3.6=a(0-3.6)(0+3.6)∴a=25518y(x3.6)(x-3.6)yx18185当x=OC=0.8时，2518y0.83.4231855184.将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其关系式.2y-2(x1)-3解：∵二次函数关系式为2y-2(x1)-3（1）由向右平移1个单位得：2y-2(x1)-3（左加右减）2y-2(x1-1)-3（2）再把向上平移4个单位得：2y-2(x1-1)-3（上加下减）2y-2(x1-1)-34即：所求的关系式为2y-2x11.（乐山·中考）设a，b是常数，且b＞0，抛物线y=ax2+bx+a2-5a-6为下图中四个图象之一，则a的值为（）yxOyxOyxO1－1yxO1－1【答案】DA.6或-1B.-6或1C.6D.-12y=-x+bx+c中函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，当0x11，2x23时，y1与y2的大小关系正确的是（）A.y1≥y2B.y1＞y2C.y1＜y2D.y1≤y22.（鄂尔多斯·中考）已知二次函数【答案】C3.（自贡·中考）y=x2+（1-a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）.A.a=5B.a≥5C.a＝3D.a≥3【答案】B4.（咸宁·中考）已知抛物线（a＜0）过A（-2，0），O（0，0），B（-3，y1），C（3，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＞y2B.y1=y2C.y1＜y2D.不能确定2y=ax+bx+c【答案】A5.（柳州·中考）抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…-2-1012…y…04664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）②抛物线与y轴的交点为（0，6）③抛物线的对称轴是：x=1④在对称轴左侧y随x的增大而增大A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C1.二次函数常用关系式(1)已知图象上三点坐标，通常选择一般式.(2)已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式.(3)已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，通常选择交点式.一般式顶点式交点式2.求二次函数关系式的一般方法：(4)已知图象发生的平移变化（上下或左右平移），通常选择平移式.平移式海浪为劈风斩浪的航船饯行，为随波逐流的轻舟送葬。