九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2二次函数y=ax2+bx+c的图象与

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质(第5课时)2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征的过程，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=2(x－3)2-5(2)y=-0.5(x+1)2(3)y=3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？解析：1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点（3，-5）（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点（-1，0）（3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3个单位，向下平移5个单位.（2）由y=-0.5x2向左平移1个单位.（3）由y=3x2向左平移4个单位，向上平移2个单位.我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.那是怎样平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式函数y=ax²+bx+c的顶点式2y=ax+bx+c2bc=ax+x+aa222bbbc=ax+x+-+a2a2aa222b4ac-b=ax++2a4a22b4ac-b=ax++.2a4a这个结果通常称为顶点坐标公式.顶点坐标公式因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线..2:abx它的对称轴是直线.44,22abacab它的顶点是22b4ac-byax.2a4a【归纳升华】确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.21y=5x-1;22y=2x-4x-1;23y=3x-6x+2;4y=x+1x-2;5y=-3x+3x+9.【跟踪训练】解析：（1）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点（1，0）（2）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点（1，-3）（3）开口：向上，对称轴：直线x=1,顶点（1，-1）（4）开口：向上，对称轴：直线x=0.5,顶点（0.5，-2.25）（5）开口：向下，对称轴：直线x=-6,顶点（-6，27）如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.2y=0.0225x+0.9x+10y(m)x(m)桥面-510o【例题】2y=0.0225x+0.9x+10（1）将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;24000=0.0225x+40x+92224000=0.0225x+40x+20-20+92400=0.0225x+20+92=0.0225x+20+1.由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.解析：方法一-20,1这条抛物线的顶点坐标是（）y(m)x(m)桥面-5102y=0.0225x+0.9x+10o2y0.0225x0.9x1020.0225x201.:右边的钢缆的表达式为2y0.0225x-201.:20,1.,因此其顶点坐标为-20-2040m.两条钢缆最低点之间的距离为y,且左右两条钢缆关于轴对称2y0.0225x-0.9x10.即（2）y(m)x(m)桥面-5102y0.0225x0.9x10o2y0.0225x0.9x10224ac-b40.022510-0.91.4a40.02252b4ac-b-,:2a4a由顶点坐标公式得b0.9---20,2a20.0225-20,1.这条抛物线的顶点坐标是,:20,1.同理右边抛物线的顶点坐标为-20-2040m.两条钢缆最低点之间的距离为y（m）x（m）桥面-5102y0.0225x0.9x10由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.解析：方法二【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c确定由a,b和c确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：abacab44,22abacab44,22bx2a直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当xxy1.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0，④当y=4时，x的取值只能为0．结论正确的个数有（）A.1个Ｂ.2个Ｃ.3个Ｄ.4个【答案】C2.（福州·中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是()A.a＞0B.c＜0C.b2-4ac＜0D.a+b+c＞0【答案】DA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限xyO3.（莱芜·中考）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图2yaxbxcybxa象不经过（）【答案】D2y=x-2a+a-14.（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1,a=0,a=1,a=2时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是.【答案】1yx-12二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系1.相同点:(1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.3.联系:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当时向右平移；当时向左平移）,再沿对称轴整体上(下)平移||个单位(当0时向上平移;当0时,向下平移)得到的.2b4ac-b,2a4a-bx-2a直线b-2a24ac-b4a24ac-b4a24ac-b4a24ac-b4ab-02ab-02a人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓。——赫胥黎