九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2.5二次函数y=ax2+bx+c的图

第5课时1.求二次函数最值的方法(1)配方法：y=ax2+bx+c化为y=_________的形式，当自变量x=__时，函数y最大(小)=__.如二次函数y=3x2+6x+4可化为y=3______+__，因为a=3__0，所以函数y有最___值，所以当x=___时，y的最___值为__.a(x-h)2+khk(x+1)2小-1小11(2)公式法：由二次函数y=ax2+bx+c的性质可得，当自变量x=_____时，函数y最大(小)=________.如二次函数y=-2x2+8x+6，因为a=-2__0，所以函数y有最___值，当x===__时，y的最___值为.b2a24acb4a大b2a82(2)2大2242684acb144a4(2)________________________________2.实际问题中确定最值【问题】某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件.调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件.(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？【解题思路】(1)单价上涨x元后每件商品的售价为(_____)元，每件商品的利润为________=(_____)元，每月的销售量为(__________)件，每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式为y=(_____)·(_________)=_________________.80+x80+x-6020+x300－10x20+x300－10x-10x2+100x+6000(2)若设单价定为m元，则每件商品的利润为(_____)元，每月的销售量为［300-_________］=(___________)件，每月销售该商品的利润y(元)与单价m(元)间的函数关系式为y=(______)(____________)=______________________.即y=____(_____)2+______.因为_____＜0，所以当m=___时，y有最____值，______=______.即单价定为___元时，每月销售商品的利润最大，最大利润为______元.m-6010(m-80)1100－10mm－601100－10m-10m2+1700m-66000-10m-856250－1085y最大值6250856250大【点拨】准确理解实际问题中的等量关系是求最值的前提.【预习思考】求二次函数最值的配方法与解一元二次方程的配方法相同吗?提示:相同.求实际问题中的最值问题【例】(10分)(2012·青岛中考)在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示：(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润ω(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润.【规范解答】(1)y是x的一次函数，设y=kx+b，图象过点(10，300)，(12，240)，即可得解得………………………2分∴y=-30x+600.………………………………………………3分当x=14时，y=180；当x=16时，y=120，即点(14，180)，(16，120)均在函数y=-30x+600的图象上，∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.…………………4分10kb30012kb240，，k30b600，，(2)ω=(x-6)(-30x+600)=-30x2+780x-3600，即ω与x之间的函数关系式为ω=-30x2+780x-3600.………………………………………7分(3)由题意得6(-30x+600)≤900，解得x≥15,…………8分ω=-30x2+780x-3600的图象的对称轴为x==13，∵a=-30＜0，∴抛物线开口向下，当x≥13时，ω随x增大而减小，∴当x=13时，ω最大=1470.即以13元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1470元.……………………………………………………10分7802(30)【规律总结】利用二次函数求解实际问题(如最大利润等)时，需注意事项1.解答要全面，有时需要分类讨论(如涨价与降价、投入与产出等).2.分清每件的利润与销售量，理清价格与它们之间的关系.3.自变量取值范围的确定，需保证实际问题有意义.4.一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图象分析.【跟踪训练】1.(2012·贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()(A)有最小值-5,最大值0(B)有最小值-3,最大值6(C)有最小值0，最大值6(D)有最小值2，最大值6【解析】选B.结合二次函数的图象,∵-5≤x≤0,∴当x=-2时，函数有最大值,y最大=6;当x=-5时，函数值最小,y最小=-3.2.(2012·襄阳中考)某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行______m才能停下来.【解析】根据题意得，飞机滑行停下了，求飞机的滑行距离，即求函数y=60x-1.5x2的最大值，y=-1.5(x2-40x)=-1.5(x-20)2+600≤600.答案：6003.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系y=-(x-12)2+144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为_______m2.【解析】由函数关系y=-(x-12)2+144(0＜x＜24)可知，∵二次函数的二次项系数即-1＜0，∴当x=12时，y最大值=144．答案：1444.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为_____s．【解析】根据题意得三角形面积为：由函数关系式可知当t=2时，△PBQ的面积最大，为4cm2.答案：2221S(82t)tt4t(t2)42，5.(2012·杭州中考)当k分别取-1,1，2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值.【解析】∵当开口向下时函数y=(k-1)x2-4x+5-k有最大值,∴k-10,解得k1.∴当k=-1时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k有最大值,∴函数y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8.故最大值为8.1.(2011·温州中考)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是()(A)有最小值0，有最大值3(B)有最小值－1，有最大值0(C)有最小值－1，有最大值3(D)有最小值－1，无最大值【解析】选C.从图上观察知，当x＝1时，有最小值－1，当x＝3时，有最大值3.2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()(A)4米(B)3米(C)2米(D)1米【解析】选A.直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为224acb4(1)044.4a4(1)3.(2012·深圳中考)二次函数y=x2-2x+6的最小值是______.【解析】y=x2-2x+6=x2-2x+1+5=(x-1)2+5，可见二次函数y=x2-2x+6的最小值是5．答案：54.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8－x)个，则当x＝_______元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大.【解析】总利润＝单件产品利润×销售数量，因此y＝x(8－x)＝－(x－4)2＋16，当x＝4时，总利润y有最大值16．答案：45.(2011·武汉中考)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．【解析】(1)y=30－2x(6≤x＜15)(2)设矩形苗圃园的面积为S,则S=xy=x(30－2x)=－2x2＋30x,∴S=－2(x－7.5)2＋112.5.由(1)知，6≤x＜15,∴当x=7.5时,S最大值＝112.5,即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5平方米.(3)6≤x≤11