九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2.4二次函数y=ax2+bx+c的图

第4课时1.二次函数y=ax2+bx+c的图象在坐标系中画出函数y=x2+2x+3的图象由于y=x2+2x+3可化为y=(x+1)2+2，所以y=x2+2x+3的图象的开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为(-1,2).①列表x-3-2-101y=(x+1)2+263__3__26②描点、连线观察表格和图象：(1)从图象可以看出函数y=(x+1)2+2的图象是一条_______，开口方向向___，对称轴是x=___，顶点坐标为(___，2)；(2)当x___时，函数值y随x的增大而减小；当x-1时，函数值y随x的增大而_____；当x=-1时，函数有最___值，最小值为y=__.抛物线上-1-1-1增大小22.二次函数y=ax2+bx+c的性质(1)把y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式.y=ax2+bx+c22222abbbcaxx()()a2a2aaaxa(x)［］［()+］b2a224acb4ab2a24acb4a__________2bc(xx)aa____________________由于y=ax2+bx+c可变形为,具有y=a(x-h)2+k的形式，所以它的图象是_______，h=,k=.22b4acbya(x)2a4a抛物线b2a24acb4a____________(2)函数y=ax2+bx+c与函数y=ax2的联系及它的对称轴和顶点坐标.①函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线，形状与y=ax2相同，只是位置不同；②函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线，顶点坐标为.2b4acb(,)2a4abx2a____________(3)函数y=ax2+bx+c的性质函数a的符号开口方向最值增减变化y=ax2+bx+ca＞0开口向___最___值在对称轴左侧y随x的增大而_____，右侧反之.a＜0开口向___最___值在对称轴左侧y随x的增大而_____，右侧反之.bx2a上小减小下大bx2a增大【点拨】对于二次函数y=ax2+bx+c，它的顶点坐标和对称轴只与a，b，c有关.【预习思考】二次函数y=ax2+bx+c中的c的值能决定它的抛物线的什么位置？提示：抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标为(0，c),所以二次函数y=ax2+bx+c中的c的值能决定抛物线与y轴的交点的位置.抛物线y=ax2+bx+c的图象与性质【例1】已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标是______；(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；x……y……(3)若该抛物线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小.【解题探究】(1)把抛物线y=-x2+2x+2化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式为y=-(x-1)2+3，所以抛物线y=-x2+2x+2的对称轴是x=1，顶点坐标是(1,3).(2)由于抛物线y=-x2+2x+2的对称轴是x=1，所以选取适当的x值时要以1为中心,左右再各取两个值，最少取5个值,因此可填表如下：x…-10123…y…-1232-1…描点、连线，可得到如图所示的抛物线：(3)因为抛物线上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的横坐标满足x1x21，所以这两点在对称轴x=1的右侧.由抛物线y=-x2+2x+2的性质可知，在对称轴x=1右侧，y随x的增大而减小，又因为x1x21，所以y1y2._____【规律总结】在画二次函数的图象及理解图象性质时应注意的问题1.画函数图象时，若抛物线与x轴有交点，最好选取交点描点，尤其是在作抛物线草图时应抓住以下五个关键点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.2.列表时应以对称轴为中心选值，间距要适当，描点画图时要依据已知抛物线的特点，一般先找出特殊点，并用虚线画出对称轴，然后再对称描点连线.3.在理解和记忆二次函数的性质时，要结合图象，做到数形结合.【跟踪训练】1.(2012·巴中中考)对于二次函数y=2(x+1)(x-3),下列说法正确的是()(A)图象的开口向下(B)当x1时,y随x的增大而减小(C)当x1时,y随x的增大而减小(D)图象的对称轴是直线x=-1【解析】选C.二次函数y=2(x+1)(x-3)可化为y=2x2-4x-6的形式,可得二次函数的对称轴为∵此二次函数中a=20,∴抛物线开口向上,故A选项错误;∵由二次函数的关系式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x1时,y随x的增大而增大,故B选项错误;∵由二次函数的关系式可知,此抛物线开口向上,对称轴为x=1,∴当x1时,y随x的增大而减小,故C选项正确;二次函数的对称轴为x=1,故D选项错误.4x1.222.(2011·淮安中考)抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是______.【解析】方法一：对于一般形式的抛物线方程，通过配方可化为顶点式y=a(x+h)2+k的形式，从而得到顶点坐标；具体变形为y=(x-1)2-4，所以顶点坐标为(1，-4).方法二：直接用抛物线的顶点坐标答案：(1，-4)2b4acb(,).2a4a3.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，那么m的值是_____.【解析】函数的最小值即顶点的纵坐标,因为a=1,b=-6,c=m,所以即答案：1024acb1,4a4m361,m10.4抛物线y=ax2+bx+c与a,b,c的符号的关系【例2】(8分)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，试判断a,b,c及b2-4ac的正负.【规范解答】∵抛物线开口向上，∴a0.………………2分∵对称轴………………………………4分∵抛物线与y轴交点在x轴下方，∴c0.…………………6分∵抛物线与x轴有两个交点，∴当y=0时，方程ax2+bx+c=0有两个不同的解，即b2-4ac0.…………………………………………………8分x0bb2a0.，【规律总结】二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征与a，b，c的符号之间的关系1.a决定开口方向和大小:(1)a0⇔开口向上;(2)a0⇔开口向下;(3)|a|相同时,抛物线形状相同,|a|越大,抛物线开口越小.2.a，b决定对称轴位置:(1)b=0⇔对称轴为y轴;(2)a,b同号⇔对称轴在y轴左侧;(3)a,b异号⇔对称轴在y轴右侧.3.c决定抛物线与y轴的交点位置:(1)c=0⇔过原点;(2)c0⇔交点在y轴的正半轴上;(3)c0⇔交点在y轴的负半轴上.【跟踪训练】4.(2011·重庆中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()(A)a0(B)b0(C)c0(D)a+b+c0【解析】选D.因为抛物线开口向下，二次项系数a0，所以A项错误；根据对称轴方程x，a0，所以b0，所以B项错误；因为抛物线与y轴的交点在x轴上方，所以c0，所以C项错误；因为直线x=1与抛物线的交点在x轴上方，所以x=1时，函数值y=a+b+c0，所以D项正确．b02a5.小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a＜0；(2)c＞1；(3)b＞0；(4)a+b+c＞0；(5)a-b+c＞0．你认为其中正确的信息有()(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个【解析】选C.(1)由抛物线的开口向下知a＜0，故正确；(2)由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上且大于1，可推出c＞1，故正确；(3)由图可知对称轴为，可推出a，b异号，又∵a＜0，∴b＞0，故正确；(4)由抛物线与x轴的交点可以看出，当x=1时，y＞0，所以a+b+c＞0，故正确；(5)由抛物线与x轴的交点可以看出，当x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，故错误.bx02a＞6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1，0)，且顶点在第一象限．有下列三个结论：①a＜0；②a+b+c＞0；③把正确结论的序号填在横线上______________.b02a．【解析】由抛物线开口向下可推出a＜0；因为对称轴在y轴右，对称轴为由图象可知：当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0．∴①②③都正确.答案：①②③bx02a＞；1.(2012·济南中考)如图,二次函数的图象经过(-2,-1),(1,1)两点,则下列关于此二次函数的说法正确的是()(A)y的最大值小于0(B)当x=0时,y的值大于1(C)当x=-1时,y的值大于1(D)当x=-3时,y的值小于0【解析】选D.由图象知,点(1,1)在图象的对称轴的左边,所以y的最大值大于1,不小于0，故A项错误;由图象知,当x=0时,y的值就是函数图象与y轴的交点,而图象与y轴的交点在(1,1)点的左边,故y1，故B项错误;对称轴在(1,1)的右边,在对称轴的左边y随x的增大而增大,∵-11,∴x=-1时,y的值小于1，故C项错误;当x=-3时,函数图象上的点在点(-2,-1)的左边,所以y的值小于0，故D项正确.2.(2011·陕西中考)若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1,y1),B(2,y2),C(3+,y3)三点，则y1,y2,y3的大小关系正确的是()(A)y1y2y3(B)y1y3y2(C)y2y1y3(D)y3y1y22【解析】选B.方法一：y=x2-6x+c=(x-3)2-9+c，对称轴为直线x=3．如图可得出y1y3y2.方法二：把A,B,C三点坐标分别代入关系式,化简得：y1=7+c，y2=-8+c，y3=-7+c．所以y1y3y2．故选B.3.(2011·济宁中考)将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式，则y=______________.【解析】y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.答案：(x-2)2+14.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点P(a，bc)在第_____象限.【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左边，∴a，b同号即b＜0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴bc＜0，∴点P(a，bc)在第三象限.答案：三5.已知抛物线(1)确定此抛物线的顶点在第几象限;(2)确定此抛物线的对称轴;(3)假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标.221yx2xa.2【解析】(1)其顶点坐标为而所以顶点在第二象限.(2)其对称轴为直线x=-1.(3)若抛物线过原点(0，0),则∴顶点坐标为(-1，1).222211yx2xa(x1)a,2221(1a),2，21a0,22211a0,a,22