九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2.1二次函数y=ax2+bx+c的图

第1课时1.二次函数y=ax2+k的图象(1)通过在同一坐标系中画函数与的图象,可以得到：它们的对称轴都是__轴(直线____)；开口方向都是开口_____；顶点不同,函数的顶点坐标为______,的顶点坐标为______．21yx221yx12yx=0向上21yx2(0,0)21yx12(0,1)(2)通过观察二次函数与的图象还可以得到：当自变量x取同一数值时,函数的函数值都比的函数值____,从图象位置上看,函数的图象上每一点都在函数的图象上相应点的上方_____单位.函数的图象可以看成是将函数的图象向___平移___个单位得到的．21yx221yx1221yx1221yx221yx1221yx221yx1221yx2大1一个上一2.二次函数y=ax2+k的性质函数a＞0a＜0图象开口方向__________顶点坐标____________向上向下(0,k)(0,k)函数a＞0a＜0对称轴__轴(x=0)__轴(x=0)函数变化当x＞0时,y随x的增大而_____；当x＜0时,y随x的增大而_____当x＞0时,y随x的增大而_____；当x＜0时,y随x的增大而______最值当x=__时,y最小值=__当x=__时,y最大值=__增大减小减小增大0k0k【点拨】k的符号决定抛物线的顶点在x轴的上方还是下方．yy【预习思考】函数y=x2与y=-x2+1的图象形状是否相同？提示：它们的形状相同,只是开口方向不同,顶点坐标也不相同．二次函数y=ax2+k的图象与性质【例1】已知下列函数.y=3x2;y=3x2+2;y=-3x2；y=3x2-2.(1)指出以上四个二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值；(2)函数y=3x2的图象分别与y=3x2+2，y=3x2-2的图象有怎样的联系？【解题探究】(1)将四个二次函数的图象在平面直角坐标系中分别画出.可得:①y=3x2,y=3x2+2与y=3x2-2的开口向上,y=-3x2的开口向下.②四个二次函数图象的对称轴均为y轴.③y=3x2和y=-3x2的顶点坐标为(0,0).y=3x2+2的顶点坐标为(0,2),y=3x2-2的顶点坐标为(0,-2).④y=3x2,当x=0时,y最小值=0.y=3x2+2,当x=0时,y最小值=2.y=-3x2,当x=0时,y最大值=0.y=3x2-2,当x=0时,y最小值=-2.(2)通过观察图象可得:y=3x2+2的图象是将y=3x2的图象向上平移2个单位得到的，y=3x2-2的图象是将y=3x2的图象向下平移2个单位得到的.【规律总结】函数y=ax2+k的性质口诀a大于0,口向上,y轴左减右是增,x为0,k最小；a小于0,口向下,y轴左增右是减,x为0,k最大．【跟踪训练】1.(2012·兰州中考)抛物线y=-2x2+1的对称轴是()(A)直线(B)直线(C)y轴(D)直线x=2【解析】选C.根据二次函数y=ax2+k的性质可知y=-2x2+1的对称轴是y轴.1x21x22.(2011·佛山中考)下列函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而增大的是()(A)y=-x+1(B)y=x2-1(C)y=(D)1x1yx【解析】选D.A：对于一次函数y=-x+1,k＜0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而减小,故本选项错误；B：对于二次函数y=x2-1,当x＞0时,y值随x值的增大而增大,当x＜0时,y值随x值的增大而减小,故本选项错误；C：对于反比例函数,k＞0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而减小,故本选项错误；D：对于反比例函数,k＜0,函数的图象在每一个象限内,y值随x值的增大而增大,故本选项正确．1yx1yx3.(2011·宁波中考)将抛物线y=x2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的关系式为____________.【解析】∵图象向上(下)平移，横坐标不变，∴由题意得,y=x2+1.答案:y=x2+1二次函数y=ax2+k的性质的应用【例2】(7分)(2012·武汉中考)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的函数关系式;(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h=(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？21t198128【规范解答】(1)设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+11，由题意得B(8,8),…………………………………………2分∴64a+11=8,解得a=,………………………………3分∴.………………………………………4分3642364yx11(2)水面到顶点C的距离不大于5m时，即水面与河底ED的距离h至少为6m,∴6=,……………………………………5分解得t1=35,t2=3,…………………………………………6分∴需要35-3=32(h).答：需32小时禁止船只通行.……………………………7分21t198128【规律总结】利用y=ax2+k的图象及性质解决生活中实际问题的步骤1.首先建立适当的坐标系.2.根据图象上的点确定函数关系式.3.利用抛物线的特点与性质解决具体问题．【跟踪训练】4.赵州桥的桥拱是抛物线形，建立如图所示的坐标系，其对应的函数关系式为，当水位线在AB位置时，水面宽AB=30米，这时水面离桥顶的高度h是()(A)5米(B)6米(C)8米(D)9米【解析】选D.y=,|-9|=9.21yx2521159255.隧道的截面是抛物线,且抛物线所对应的函数关系式为,一辆车高3m,宽4m,该车______(填写“能”或“不能”)通过隧道.【解析】在中,当y=3时,,解得：x=±,所以宽是＜4m,即不能通过．答案：不能2113yx842113yx842113x384＝22m26.如图,某大学校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各挂一个牌匾,且两牌匾顶部的水平距离为6m,则该大学校门的高度约是多少?(精确到0.1,建筑厚度不计)【解析】以校门所在地面线段的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+k，由题意可知抛物线与x轴的两个交点坐标为(-4,0)，(4,0)，且经过点(3，4)，由此三点可得抛物线的关系式为,当x=0时，≈9.1，故该大学校门的高度约为9.1m.2464yx7764y71.下列关于二次函数y=-3x2+2的图象和性质的说法正确的是()(A)开口方向向下,顶点坐标为(0,0)(B)开口方向向上，对称轴为y轴(C)y随x的增大而增大(D)当x0时，y随x的增大而减小【解析】选D.根据二次函数y=ax2+k的图象和性质,由-30可知开口方向向下,顶点坐标为(0,2),对称轴为y轴;当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大.2.(2011·湘潭中考)在同一坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是()【解析】选C.本题考查函数的图象与性质,先根据一次函数y=ax+1过(0,1)点排除D；再根据二次函数y=x2+a开口向上,排除B；当a＞0时,A，C均不可能,当a＜0时,A不可能,只有C可能.所以答案为C．3.抛物线y=3x2-1的顶点坐标为_______,对称轴是_______．【解析】因为函数y=ax2+k的顶点坐标为(0,k),对称轴为y轴,所以抛物线y=3x2-1的顶点坐标为(0,-1),对称轴为ｙ轴．答案：(0,-1)y轴4.廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图,已知抛物线的函数关系式为.为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离EF是_____米.(精确到1米)21yx1040【解析】由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”,可知y=8,把y=8代入得：x=由此可求出EF=≈18(米)．答案：1821yx104045,855.若二次函数y=ax2+2的图象经过点(-2，10),求a的值，这个函数有最大值还是最小值?是多少？【解析】把x=-2,y=10代入y=ax2+2,得4a+2=10,a=2,∵a=20,则抛物线开口向上，有最小值,该函数的最小值是2.