九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时1.会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成形如y=a(x-h)2+k的形式,归纳并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.(重点)2.理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的顶点、对称轴与a,b,c的关系.(重点、难点)3.能用二次函数的不同形式解决有关问题.(重点)______________________________________________________________________2222yaxbxca______________bca[xx]aaa[(x)]a(x)a0.（）2bc(xx)aa2b()2a2b()2ab2a224acb4ab2a24acb4a【思考】(1)函数y=ax2+bx+c（a≠0）可以化为y=a（x-h）2+k的形式，此时h，k分别等于什么？提示：因为函数y=ax2+bx+c（a≠0）可以化为所以22b4acbya(x)2a4a，2b4acbhk.2a4a，(2)由（1）可得函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴、顶点坐标分别是什么？提示：函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是顶点坐标为bx2a，2b4acb(,).2a4a【总结】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质:函数a的符号开口方向最值增减变化y=ax2+bx+c(a≠0)a0开口向___最___值在对称轴x=左侧y随x的增大而_____,右侧反之a0开口向___最___值在对称轴x=左侧y随x的增大而_____,右侧反之上小减小下大增大b2ab2a(打“√”或“×”)(1)函数y=-x2+3x+1的顶点坐标为()(2)函数y=9x2+3x+5的对称轴为()(3)在函数y=2x2-8x-6中,当x2时,y随x的增大而减小.()(4)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则a0,b0,c0.()313(,).241x.6××√√知识点1二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【例1】已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是______,顶点坐标是______.(2)选取适当的数据填入下表,并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象.x……y……(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1x21,试比较y1与y2的大小.【解题探究】(1)将抛物线y=-x2+2x+2化成y=a(x-h)2+k的形式,并写出对称轴和顶点坐标.提示:y=-x2+2x+2=-(x2-2x+1)+3=-(x-1)2+3,所以对称轴为x=1,顶点坐标为(1,3).(2)由于抛物线y=-x2+2x+2的对称轴是____,所以选取适当的x值时要以__为中心,左右再各取两个值,最少取__个值,因此可填表如下:x=115x…-10123…y…____________…-1232-1描点、连线,可得到如图所示的抛物线.(3)①由抛物线的性质可得在x1时,抛物线的增减性如何?提示:因为对称轴为x=1,a=-10,所以当x1时,y随x的增大而减小.②由①可知y1与y2有怎样的大小关系?提示:因为x1x21,所以y1y2.【总结提升】在画二次函数的图象及理解图象性质时应注意的问题1.画函数图象时,若抛物线与x轴有交点,最好选取交点描点,尤其是在作抛物线草图时应抓住以下五个关键点:开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.2.列表时应以对称轴为中心选值,间距要适当,描点画图时要依据已知抛物线的特点,一般先找出特殊点,并用虚线画出对称轴,然后再对称描点连线.3.在理解和记忆二次函数的性质时,要结合图象,做到数形结合.知识点2二次函数y=ax2+bx+c与a,b,c的关系【例2】已知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B两点,图中的曲线是它的一部分.根据图中提供的信息,(1)确定a,b,c的符号.(2)求a+b+c的取值范围.【思路点拨】(1)根据开口方向可确定a的符号;与y轴交于负半轴,可判定c的符号;由抛物线对称轴在y轴的右侧或为y轴,得可判定b的符号.(2)由抛物线过点(-1,0),得a-b+c=0.利用(1)中各系数的范围进而求得a+b+c的取值范围.b0,2a【自主解答】(1)因为抛物线开口向上,得a0.由抛物线过点(0,-1),得c=-10.∵抛物线在y轴左侧没有最低点,∴抛物线对称轴在y轴的右侧或是y轴,得又a0,得b≤0.∴a0,b≤0,c0.b0,2a(2)由抛物线过点(-1,0),得a-b+c=0.即a=b-c=b+1,由a0,得b-1.∴-1b≤0,∴a+b+c=(b+1)+b-1=2b.∴-2a+b+c≤0.【总结提升】二次函数y=ax2+bx+c的图象的特征与a,b,c的符号之间的关系1.a决定开口方向和大小:(1)a0⇔开口向上.(2)a0⇔开口向下.(3)|a|相同时,抛物线形状相同,|a|越大,抛物线开口越小.2.a,b决定对称轴位置:(1)b=0⇔对称轴为y轴.(2)a,b同号⇔对称轴在y轴左侧.(3)a,b异号⇔对称轴在y轴右侧.3.c决定抛物线与y轴的交点位置:(1)c=0⇔过原点.(2)c0⇔交点在y轴的正半轴上.(3)c0⇔交点在y轴的负半轴上.题组一:二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质1.二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)【解析】选B.方法一：∵a=1,b=-4,c=5，∴顶点坐标为（2,1）.方法二：∴顶点坐标为（2,1）.b42,2a212241544acb20161,4a41422222244yx4x5x4x()()522x245x21,＝－＋2.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1x21,则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B.y1y2C.y1≥y2D.y1y2【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知当x1时,y随着x的增大而增大.∵x1x21,∴点A,点B在对称轴的左侧,∴y1y2.3.(2013·舟山中考)若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为()A.直线x=1B.直线x=-2C.直线x=-1D.直线x=-4【解析】选C.把点的坐标(-2,0)代入一次函数y=ax+b,得其对称轴为直线x=-1.2222bb2ab0,2ab,yaxbxa(x)()a(x1)1,2a2a4.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是________.【解析】函数的最小值即顶点的纵坐标,因为a=1,b=-6,c=m,所以即答案:1024acb1,4a4m361,m10.45.已知二次函数y=x2-3x-4.(1)用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围.【解析】(1)∵y=x2-3x-4∴二次函数图象的顶点坐标是,对称轴是22233x3x()()4222325(x),243x.2325(,)24(2)当y=0时,x2-3x-4=(x+1)(x-4)=0,∴x1=-1,x2=4.∴图象与x轴两交点坐标为(-1,0),(4,0),图象如图.∴函数值不小于0时,x的取值范围是x≤-1或x≥4.题组二:二次函数y=ax2+bx+c与a,b,c的关系1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是()ax【解析】选C.因为二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,∴a0;因为对称轴在y轴的左侧,a,b同号,∴b0;∵二次函数的图象经过坐标原点,∴c=0,∴一次函数y=bx+c过第二、四象限且经过原点,反比例函数的两个分支位于第二、四象限.ayx2.(2013·兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列说法中不正确的是()A.b2-4ac0B.a0C.c0D.b02a【解析】选D.由图象可知对称轴在y轴的右侧,所以b0.2a3.(2013·巴中中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的是()A.ac0B.当x1时,y随x的增大而减小C.b-2a=0D.x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根【解析】选D.∵a0,c0,∴ac0,A错;当x1时,y随x的增大而增大,B错;∴b+2a=0,C错;∵抛物线过(3,0),∴D正确.b1,2a4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),且顶点在第一象限.有下列三个结论:①a0;②a+b+c0;③把正确结论的序号填在横线上__________.b0.2a【解析】由抛物线开口向下可推出a0;因为对称轴在y轴右侧,对称轴为由图象可知:当x=1时,y0,∴a+b+c0.∴①②③都正确.答案:①②③bx0;2a5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第________象限.【解析】∵抛物线的开口向下,∴a0,∵对称轴在y轴左边,∴a,b同号即b0,∵抛物线与y轴的交点在正半轴,∴c0,∴bc0,∴点P(a,bc)在第三象限.答案:三6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,是该抛物线的对称轴.根据如图所提供的信息,请你写出有关a,b,c的四条结论,并简单说明理由.3x2【解析】①∵开口方向向上,∴a0,②∵与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c0,③∵对称轴为∴a,b异号,即b0,④∵抛物线与x轴有两个不同交点,∴b2-4ac0,⑤当x=1时,y=a+b+c0,⑥当x=-1时,y=a-b+c0.结论有:a0,b0,c0,b2-4ac0,a+b+c0,a-b+c0(答案不唯一).bx0,2a【想一想错在哪？】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a的图象不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限提示:把二次函数y=ax2+bx+c的对称轴误认为而导致错误.bx,2abx,2a