九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 1二次函数y=ax2的图象与性质习题课

§27.2二次函数的图象与性质1.二次函数y=ax2的图象与性质1.会用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象.(重点)2.掌握二次函数y=ax2的性质.(重点、难点)3.通过数形结合初步理解二次函数的性质,培养学生的观察能力、抽象概括能力.(难点)在直角坐标系中,画二次函数y=4x2的图象.解:列表.x…-2-1012…y…_____0_____…164416在直角坐标系中描点,然后用光滑的_____顺次连结各点,得到函数y=4x2的图象,如图所示.曲线【思考】(1)观察函数y=4x2的图象,这个函数的图象是一条___(填“直”或“曲”)线.(2)函数y=4x2的图象是否是轴对称图形?若是,则它的对称轴是什么?提示:函数y=4x2的图象是轴对称图形.它的对称轴是y轴.(3)函数y=4x2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点?提示:在y轴的左边,函数值y随x的增大而减小,在y轴的右边,函数值y随x的增大而增大.曲【总结】(1)二次函数y=ax2的图象:二次函数y=ax2的图象是一条曲线,这样的曲线通常叫做_______,它有_____对称轴,抛物线与它的_______的交点叫做抛物线的_____.抛物线一条对称轴顶点函数a0a0图象开口方向__________顶点坐标____________(2)二次函数y=ax2的图象与性质:向上向下(0,0)(0,0)函数a0a0对称轴y轴(x=0)y轴(x=0)函数变化当x0时,y随x的增大而_____;当x0时,y随x的增大而_____当x0时,y随x的增大而_____;当x0时,y随x的增大而_____最值当x=__时,y最小值=__当x=__时,y最大值=__增大减小减小增大0000(打“√”或“×”)(1)二次函数的图象都是一条抛物线,都是中心对称图形.()(2)y=ax2开口方向向上,顶点坐标是(0,0).()(3)函数的图象的对称轴过顶点,且对称轴为y轴.()(4)二次函数y=(x-1)(x+1)+1有最小值,最小值为0.()(5)若点(3,a),(5,b)是二次函数y=-6x2的图象上的两点,则ab.()××√√×21yx5知识点1二次函数y=ax2的图象【例1】在同一坐标系中,画出下列函数的图象．(1)(2)y=2x2.(3)(4)y=-2x2．【思路点拨】在数字0的两边各取一些左右对称的数字进行列表，然后根据列表描点连线，画出函数的图象.21yx.221yx.2【自主解答】列表：x…-3-2-10…4.5______0…_____-2-0.50y=2x2…_____20y=-2x2…-18-8-20x123…0.524.5…_____________…y=2x22818…y=-2x2__________…21yx221yx221yx221yx220.5-4.5188-0.5-2-4.5-2-8-18描点连线：【总结提升】画函数y=ax2的图象的三点注意1.列表时自变量应以0为中心,左右两边要对应取值.2.画图时图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸.3.图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该平滑.知识点2二次函数y=ax2的性质【例2】已知是二次函数，且函数图象有最高点．（1）求k的值.（2）求顶点坐标和对称轴．2kk4yk2x【思路点拨】（1）根据二次函数的定义得出k2+k-4=2及k+2≠0，再利用函数图象有最高点得出k+2＜0，即可得出k的值.（2）利用（1）中k的值得出二次函数关系式，利用二次函数y=ax2（a≠0）的顶点和对称轴的特点即可得出答案．【自主解答】（1）因为是二次函数，所以k2+k-4=2且k+2≠0，即k2+k-6=0，且k+2≠0，所以（k+3）（k-2）=0，且k≠-2，所以k=-3或k=2，因为函数图象有最高点，所以k+2＜0，当k=-3时，k+2=-1＜0，符合要求，当k=2时，k+2=4＞0，不符合要求，舍去.故k的值为-3.2kk4yk2x（2）因为k=-3，所以二次函数关系式为y=-x2，所以顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴．【总结提升】二次函数y=ax2（a≠0）中a的两点作用1.二次函数y=ax2的开口方向由a决定，当a＞0时，开口方向向上，当a＜0时，开口方向向下.2.二次函数y=ax2的开口大小由|a|决定，|a|越大，二次函数y=ax2的开口越小；|a|越小，二次函数y=ax2的开口越大；|a|的值相等，二次函数y=ax2的开口大小相同.题组一：二次函数y=ax2的图象1.（2013·丽水中考）若二次函数y=ax2的图象经过点P（-2，4），则该图象必经过点()A.（2，4）B.（-2，-4）C.（-4，2）D.（4，-2）【解析】选A.将P(-2,4)代入y=ax2,得4=4a,得a=1,即y=x2,将四个选项逐一代入y=x2,可得只有点（2，4）符合.2.函数y=ax2与y=ax+b（a＞0，b＞0）在同一坐标系中的大致图象是()【解析】选C．因为y=ax2与y=ax+b（a＞0，b＞0），所以二次函数y=ax2开口向上，一次函数y=ax+b经过一、二、三象限．【变式备选】给出下列命题：命题1.点(1,1)是双曲线与抛物线y=x2的一个交点.命题2.点(1,2)是双曲线与抛物线y=2x2的一个交点．命题3.点(1,3)是双曲线与抛物线y=3x2的一个交点．…请你观察上面的命题,猜想出命题n(n是正整数)：_________________________________________．1yx2yx3yx【解析】从已知得出点的横坐标都是1,纵坐标与反比例函数的k相同,与二次函数的a相同,得出点(1,n)是双曲线与抛物线y=nx2的一个交点.答案：点(1,n)是双曲线与抛物线y=nx2的一个交点nyxnyx3.在同一坐标系中,抛物线的共同特点是()A.关于y轴对称,开口向上B.关于y轴对称,y随x的增大而增大C.关于y轴对称,y随x的增大而减小D.关于y轴对称,顶点是原点【解析】选D.因为抛物线都符合抛物线的最简形式y=ax2,其对称轴是y轴,顶点是原点.22211y4x,yx,yx4422211y4x,yx,yx444.在函数①y=x2;②③④y=x+1的图象中，关于原点中心对称的图形为______（填入序号）．1yx;21y;x【解析】①y=x2的图象是抛物线，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；②的图象是一条过原点的直线，是关于原点对称的中心对称图形，故正确；③的图象是双曲线，是关于原点中心对称的图形，故正确；④y=x+1的图象是一条不过原点的直线，不是关于原点对称的中心对称图形，故错误．答案：②③1yx21yx5.如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，则阴影部分的面积是______.【解析】由图形观察可知，把x轴上方的阴影部分对称到下方就得到一个半圆，则阴影部分的面积答案：2π21yx221yx221S22.26.在坐标系中，画出函数的图象.【解析】列表21yx4x…-4-3-2-101234……-4-10-1-4…21yx494141494描点连线，如图所示：题组二：二次函数y=ax2的性质1.（2012·龙岩中考）下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有()①y=x;②y=-2x+1;③④y=3x2．A．1个B．2个C．3个D．4个1y;x【解析】选B．①y=x是正比例函数，k=1＞0，y随x的增大而增大，符合题意；②y=-2x+1是一次函数，k=-2＜0，y随x的增大而减小，不符合题意；③是反比例函数，k=-1＜0，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大，符合题意；④y=3x2是二次函数，a=3＞0，开口向上，对称轴为x=0，故当x＜0时，图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，不符合题意．1yx2.已知二次函数y=ax2的图象开口向上,则直线y=ax-1经过的象限是()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限【解析】选D.因为二次函数开口向上,所以a0,所以直线经过第一、三、四象限.3.函数y=-7x2的图象在对称轴右边的部分,y随x的增大而______.【解析】因为a=-70,所以函数y=-7x2的图象在对称轴右边的部分,y随x的增大而减小.答案:减小4.写出一个开口向下的二次函数的关系式________.【解析】二次函数的图象开口向下,则二次项系数为负,即a0,所以答案不唯一.如满足条件的二次函数的关系式为y=-x2.答案:y=-x2(答案不唯一)5.二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,求m的取值范围,并说明当x取何值时,y随x的增大而增大.【解析】因为二次函数y=(3m+6)x2的图象在三、四象限,所以3m+60,所以m-2,所以当x0时,y随x的增大而增大.【想一想错在哪？】若点A(m,-2),B(n,-4)是二次函数y=-3x2图象上的两点,则m,n的大小关系为()A.mnB.mnC.m≥nD.不能确定提示:忽视点A,B的位置,它们可能在对称轴的两侧,也可能在同侧,给出的数值是点的纵坐标,因而需要分类讨论.