九年级数学下册 第27章二次函数27.1二次函数课件 华东师大版

§27.1二次函数1.问题1中的等量关系是什么？答：矩形花圃的面积等于______________________________．2.设矩形花圃垂直于墙的一边AB的长为xm,取一些值,算出矩形花圃另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2，并将结果填写在下表空格里．AB长x(m)123456789BC长(m)______12__________面积y(m2)______48__________181614108642矩形花圃的长乘以矩形花圃的宽1832425048423218通过填写表格可以发现当x的值为__时,y的值最大，为___．即在问题1中垂直于墙的一边AB的长为__m,另一边BC的长为__m时,得到的矩形花圃的面积最大．5505103.在问题1中AB(x)是否可以任意取值？x的取值范围是什么？答：____________________________________．4.在问题1中,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的_____,它们之间的函数关系式为y=_________或y=_________．x不能任意取值.x的取值范围是0＜x＜10x(20-2x)-2x2+20x函数5.在问题2中等量关系是什么？答:_________________________．6.问题2中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则y是x的______.函数关系式为：y=___________________或者为y=________________.其中x表示每件商品降价的钱数,最小降价为__元,最大降价为__元,因此x的取值范围为________．利润=(售价-进价)×销售量(10-x-8)(100+100x)-100x2+100x+200020≤x≤2函数7.二次函数的定义：形如y=_________(a，b，c是常数,a___0)的函数叫做二次函数，其中x是_______，__是二次项系数，__是一次项系数，__是常数项.【点拨】注意二次函数的二次项的系数不为0是二次函数概念的一部分．ax2+bx+c≠自变量abc【预习思考】1.二次函数要满足的三个条件是什么？提示：(1)自变量x的最高次数是2；(2)a≠0；(3)右边是关于自变量x的整式,自变量x不能出现在分母中或根号里．2.函数y=(x-3)(x+2)-x2是二次函数吗？提示：不是.因为函数y=(x-3)(x+2)-x2整理后化为y=-x-6,它是一次函数,不是二次函数．二次函数的定义【例1】已知函数y=(m2+m)xm2-2m+2.(1)当函数是二次函数时,求m的值；(2)当函数是一次函数时,求m的值．【解题探究】1.在函数y=(m2+m)xm2-2m+2中,自变量x的系数是m2+m,次数是m2-2m+2．2.若y=(m2+m)xm2-2m+2为二次函数,则自变量x的系数和次数应分别等于什么？m的值等于什么？答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为2,即m2-2m+2=2,解得m=0或m=2，所以m=2.3.若y=(m2+m)xm2-2m+2为一次函数,则自变量x的系数和次数应分别等于什么？m的值又等于什么？答：x的系数不为0,即m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1；x的次数为1,即m2-2m+2=1,解得m1=m2=1.所以m=1._______________________________【规律总结】判断二次函数的三步法观察判断化简看所给二次函数是否是y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，若是则可结合二次函数的定义直接判断；若所给函数不是y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，则要整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式；结合二次函数的定义判断化成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式的函数是否是二次函数.【跟踪训练】1.下列函数中,是二次函数的是()(A)y=8x2+1(B)y=8x+1(C)y=(D)y=+1【解析】选A.A：符合二次函数的y=ax2+bx+c(a≠0)的形式,是二次函数,正确；B:是一次函数,错误；C:是反比例函数,错误；D:自变量x在分母中,不是二次函数,错误．8x28x2.当m=______时,函数y=(m-1)xm2+1是关于x的二次函数．【解析】依题意可知m2+1=2,得m=1或m=-1,又∵m-1≠0,∴m≠1．∴当m=-1时,这个函数是二次函数．答案：-13.若函数y=(m-4)x3m2-2m-3是二次函数,求m的值．【解析】根据题意得解得∴m=-1或m=23m2m32m40,，5m1m3m4,或，5.3实际问题中的二次函数关系【例2】(9分)在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米20元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x米．(1)求y与x之间的关系式；(2)如果制作这面镜子共花了195元,求这面镜子的长和宽．特别提醒:注意自变量在实际问题中的实际意义,准确确定自变量的取值范围.【规范解答】(1)y=240x2+120x+45；………………………2分(2)由题意可得240x2+120x+45=195，整理得8x2+4x-5=0.…………………5分解得x1=(舍去).………………………7分…………………………………8分答：镜子的长和宽分别是米和米．……9分2,11114x1141111114x.22x，11121114【规律总结】建立实际问题中的二次函数关系式的四个步骤1.认真审题,明确一些关键词的意义.2.弄清题目中自变量与因变量的意义.3.找出题目中共有几个条件,每个条件和变量之间可以列出有什么意义的代数式.4.确定等量关系,列出函数关系式．【跟踪训练】4.进入夏季后,某电器商场为了减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为()(A)y=2a(x-1)(B)y=2a(1-x)(C)y=a(1-x2)(D)y=a(1-x)2【解析】选D.由题意知第二次降价后的价格是a(1-x)2，则函数关系式是y=a(1-x)2．5.写出下列函数关系式(不必写出自变量的取值范围)：(1)等腰三角形顶角y与底角x之间的函数关系式为________.(2)汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升,油箱中剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的函数关系式为______________.(3)矩形的周长为30,则面积y与一条边长x之间的函数关系式为_________.在上述各式中,_________是一次函数,________是二次函数(只填序号)．【解析】(1)由三角形的内角和为180°，得2x+y=180,即y=180-2x.(2)∵汽车每行驶50千米耗油9升,则行驶x千米耗油量为升，∴油箱中剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的函数关系式为y=100-9x509x.50(3)∵矩形的周长为30,一边长为x,则另一边的长为15-x,∴面积y与一条边长x之间的关系式为y=(15-x)x=-x2+15x．三个式子中(1)(2)是一次函数,(3)是二次函数．答案：y=180-2xy=100-y=-x2+15x(1)(2)(3)9x506.圆的半径为3,若半径增加x,则面积增加y.求y与x的函数关系式．【解析】由题意得：y=π(x+3)2-9π,即y=πx2+6πx(x＞0)．1.下列函数关系中,是二次函数的是()(A)在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系(B)当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系(C)等边三角形的周长C与边长a之间的关系(D)圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系【解析】选D.A:y=mx+b,当m≠0时(m是常数),是一次函数,错误；B:t=当s≠0时,是反比例函数,错误；C:C=3a,是正比例函数,错误；D:S=是二次函数,正确．s,v21R,32.下列函数中,不是二次函数的是()(A)y=1-2x2(B)y=2(x-1)2+4(C)y=(x-1)(x+4)(D)y=(x-2)2-x2【解析】选D.A.y=1-2x2=-2x2+1,是二次函数,正确；B.y=2(x-1)2+4=2x2-4x+6,是二次函数,正确；C.y=是二次函数,正确；D.y=(x-2)2-x2=-4x+4,是一次函数,错误．122113x1x4xx2,2223.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是_______．【解析】根据二次函数的定义可得a+1≠0,即a≠-1.所以a的取值范围是a≠-1．答案：a≠-14.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y，那么y与x的函数关系式为_________．【解析】新正方形的边长是(x+3),则y=(x+3)2-32=x2+6x．答案：y=x2+6x5.如图,某矩形相框长26cm,宽20cm,其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同,都是xcm,相框内部的面积(指图中较小矩形的面积)为ycm2．(1)写出y与x的函数关系式；(2)若相框内部的面积为280cm2,求相框边的宽度.【解析】(1)根据题意得,y=(26-2x)(20-2x)=4x2-92x+520(0＜x＜10)．(2)根据题意,得4x2-92x+520=280．解得x1=3,x2=20(不合题意,舍去).答：相框边的宽度为3cm.