九年级数学下册 第26章二次函数 26.1二次函数及其图象 4 二次函数y=ax2+bx+c的图象习

26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象1.掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.(重点)2.掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(重点、难点)3.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程.(重点)探究y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及性质1.(1)二次函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向_____,对称轴是________,顶点坐标为_____.它是由y=-4x2的图象先向右平移__个单位,再向上平移__个单位得到的.(2)把y=-4(x-2)2+1化成一般形式得:y=____________.(3)二次函数y=-4x2+16x-15的图象与y=-4x2的图象的形状、大小_____,位置_____.向下直线x=2(2,1)21-4x2+16x-15相同不同2.y=ax2+bx+c(a≠0)配方的过程:y=ax2+bx+c=a______________…………………………提取二次项系数=a[x2+x+___________+]……………………………配方=……………………化为完全平方式=……………化为y=a(x-h)2+k的形式2bcxx)aa（ba22bb()2a2a（）ca222b4acba(x)2a4a［］22b4acba(x)2a4a【总结】1.y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是_______,形状与y=ax2相同,只是_____不同.2.y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(______,________),对称轴是直线x=______.抛物线位置b2a24acb4ab2a(打“√”或“×”)(1)抛物线y=x2+4x+9的对称轴是直线x=2.()(2)二次函数y=-2x2+x有最大值是0.()(3)把二次函数y=-x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式是y=-(x-2)2+2.()(4)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则c=0.()1414×××√知识点1y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及其性质【例1】(2012·徐州中考)二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(1)求b,c的值.(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.(3)在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.【思路点拨】把点的坐标代入解析式→列方程组→b,c的值→把解析式配方→顶点坐标、对称轴→作图.【自主解答】(1)由题意得解得(2)由(1)知函数解析式是y=x2-4x+3,可化为y=(x-2)2-1,∴其顶点坐标是(2,-1),对称轴为直线x=2.164bc393bc0，，b4c3.－，(3)如图所示:【总结提升】画二次函数图象的三步骤1.化:把一般式化成顶点式.2.定:确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.3.画:利用抛物线对称性列表,描点,连线.知识点2y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系【例2】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,请你分别判断a,b,c及a+b+c的符号.【解题探究】1.根据抛物线的开口向___,得a___0.2.由图中顶点横坐标得-___0,其中a___0,∴b___0.3.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是多少?结合此交点在y轴的位置,试判断c的符号.提示:抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(0,__),∵该点在y轴的______轴上,∴c___0.4.因为a+b+c是x=___时y=ax2+bx+c的值,此时图象上所对应的点在x轴的下方,所以函数值小于0,即a+b+c___0.b2a上负半1c【互动探究】-0时,b与a的符号有何关系?-0时,b与a的符号有何关系?提示:-0时,b的符号与a的符号相异;-0时,b的符号与a的符号相同.b2ab2ab2ab2a【总结提升】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系系数的符号图象特征a的符号开口向上⇔a0,开口向下⇔a0b的符号左同右异,顶点在y轴左侧,b与a符号相同;顶点在y轴右侧,b与a符号相异c的符号c为图象与y轴交点的纵坐标题组一:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及其性质1.二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)【解析】选B.方法一：∵a=1,b=-4,c=5，∴∴顶点坐标为（2,1）.方法二：∵y＝x2－4x＋5=x2-4x++5=（x-2）2-4+5=（x-2）2+1,∴顶点坐标为（2,1）.b422a21224acb4154201614a414－（）2244()()222.在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位,再向上平移2个单位,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是()A.(-2,3)B.(-1,4)C.(1,4)D.(4,3)【解析】选D.∵y=2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x2-2x+1)+1=2(x-1)2+1,∴将抛物线y=2x2-4x+3经两次平移后所得到新抛物线的解析式为y=2(x-1-3)2+1+2,即y=2(x-4)2+3,∴新抛物线的顶点坐标为(4,3).【归纳整合】二次函数y=ax2+bx+c的平移先把函数解析式配方成顶点式,再根据平移规律,确定平移后的顶点坐标,进而得到平移后的抛物线的解析式.3.(2013·襄阳中考)二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1x21,则y1与y2的大小关系是()A.y1≤y2B.y1y2C.y1≥y2D.y1y2【解析】选B.根据二次函数的图象性质可知,当x1时,y随着x的增大而增大.∵x1x21,∴点A、点B在对称轴的左侧,∴y1y2.4.二次函数y=x2-2x+6的最小值是.【解析】y=x2-2x+6=(x-1)2+5,因为a=10,所以二次函数y=x2-2x+6有最小值是5.答案:55.(2013·湖州中考)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).(1)求抛物线的解析式.(2)求抛物线的顶点坐标.【解析】(1)方法一:∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0),∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.方法二:抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),即y=-x2+2x+3.93bc01bc0－，－－，b2c3.，(2)方法一：∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，∴顶点坐标为（1，4）.方法二：∵a=-1，b=2，c=3，∴-=-=1，∴顶点坐标为（1，4）.方法三：由A（3，0），B（-1，0）可知，此抛物线的对称轴为x=1，把x=1代入y=-x2+2x+3，得y=4.∴顶点坐标为（1，4）.b2a22(1)241344acb4,4a41【高手支招】求抛物线顶点坐标的三途径(1)可把二次函数一般式通过配方化成顶点式,从而求出顶点.(2)可由一般式下的顶点坐标公式求出顶点坐标.(3)在一般式下先求出对称轴直线x=h,再把x=h代入解析式求得对应的y值,从而确定顶点坐标.题组二:y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与系数的关系1.二次函数y=x2+ax+b中,若a+b=0,则它的图象必经过点()A.(－1,－1)B.(1,－1)C.(1,1)D.(－1,1)【解析】选C.当x=1时,代入二次函数解析式得,y=1+a+b,即a+b=y-1,所以y-1=0,所以y=1.即当x=1时,y=1,所以图象必经过点(1,1).2.(2013·聊城中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是()【解析】选C.抛物线开口向下,所以二次函数的二次项系数a0,对称轴x=-0,所以b0.则由a的值可知一次函数y随x的增大而减小,直线从左到右呈下降趋势,由b的值可知直线与y轴的正半轴相交,故选C.b2a3.二次函数y=ax2+bx+c中,a0,b0,c=0,则其图象的顶点在第象限.【解析】因为a0,b0,所以-0;又因为c=0,所以0,所以抛物线的顶点在第四象限.答案:四b2a224acbb4a4a4.如果抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,2),它的对称轴是x=-1,那么=.【解析】根据题意知,c=2,-=-1,所以b=2a,所以==1.答案:1acbb2aacb2a2a5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,bc)在第象限.【解析】∵抛物线的开口向下,∴a0,∵对称轴在y轴左边,∴a,b同号,即b0,∵抛物线与y轴的交点在正半轴上,∴c0,∴bc0,∴点P(a,bc)在第三象限.答案:三6.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于______.【解析】由题意，得：=±3,当=3时，c=14，当=-3时，c=8.即c的值为14或8.答案:14或84c2364（）4c2364（）4c2364（）【想一想错在哪？】已知抛物线y=x2-(a+2)x+9的顶点在坐标轴上,求a的值.提示:顶点在坐标轴上还包括在y轴上的情况.