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26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象(第2课时)1.理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.(重点)2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(重点)3.经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质.(难点)y=a(x-h)2+k的图象与性质【思考】观察抛物线y=x2,y=(x-1)2,y=(x-1)2+2的图象,填空:(1)函数y=(x-1)2的图象可以看成是将函数y=x2的图象向__平移__个单位得到的.(2)函数y=(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=(x-1)2的图象向__平移__个单位得到的.(3)函数y=(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=x2的图象先向右平移__个单位再向__平移2个单位得到的.其开口向___,对称轴为直线______,顶点坐标是______.右1上21上上x=1(1,2)【总结】1.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状____,位置____.把抛物线y=ax2向左(右)、向上(下)平移可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据____的值来决定.2.抛物线y=a(x-h)2+k的特点:(1)当a0时,开口向__;当a0时,开口向__.(2)对称轴是直线____.(3)顶点坐标是____.相同不同h,k上下x=h(h,k)(打“√”或“×”)(1)抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标为(-2,3).()(2)抛物线y=x2-1向左平移一个单位后所得抛物线的解析式为y=x2.()(3)抛物线顶点P的坐标是(1,3),则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x1.()×××知识点1二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质【例1】已知:抛物线y=(x-1)2-3.(1)写出抛物线的开口方向、对称轴.(2)函数y有最大值还是最小值?并求出这个最大(小)值.(3)该抛物线经过怎样的平移,能得到抛物线y=x2?3434【思路点拨】根据y=a(x-h)2+k的性质确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,并根据顶点坐标得到函数的最值;确定平移的方向及距离时,可以根据抛物线y=ax2经过平移得到抛物线y=a(x-h)2+k时平移的方向、距离,再反向平移.【自主解答】(1)y=(x-1)2-3,∵a=0,∴抛物线的开口向上,对称轴为x=1.(2)∵a=0,∴函数y有最小值,最小值为-3.(3)y=x2先向右平移1个单位,再向下平移3个单位得到y=(x-1)2-3,所以由y=(x-1)2-3先向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到y=x2.34343434343434【互动探究】抛物线的对称轴、函数的最大(小)值与顶点坐标之间有什么关系?提示:对称轴上的点的横坐标和顶点的横坐标是一致的,函数的最大(小)值和顶点的纵坐标是一致的.【总结提升】抛物线y=ax2到y=a(x-h)2+k平移“八字诀”抛物线y=ax2到y=a(x-h)2+k平移的规律是:“上加下减”“左加右减”.“上加下减”是指抛物线y=ax2向上平移,则k0,向下平移,则k0;“左加右减”是指抛物线y=ax2向左平移,则括号内x后面的数是正数,向右平移则括号内x后面的数是负数.知识点2用顶点式y=a(x-h)2+k求抛物线解析式【例2】已知抛物线的顶点坐标为(2,1),且抛物线过点(3,0),求抛物线的解析式.【思路点拨】根据顶点坐标→设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1→把点(3,0)的坐标代入→求出a的值→抛物线的解析式.【自主解答】设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k,因为抛物线的顶点坐标为(2,1),所以抛物线为y=a(x-2)2+1,把(3,0)代入得0=a(3-2)2+1,解得a=-1,所以抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1.【总结提升】利用顶点式求二次函数解析式的一般步骤若已知抛物线的顶点坐标为(h,k),且过另一点A(m,n),求解析式时,(1)设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k.(2)将A(m,n)代入,求出a的值.(3)按要求写出抛物线的解析式.题组一:二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.(2013·益阳中考)抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标是()A.(3,1)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)【解析】选A.根据二次函数y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),知选A.2.抛物线y=-3(x-2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为()A.开口向下,对称轴为x=-2,顶点坐标为(-2,4)B.开口向上,对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)C.开口向上,对称轴为x=2,顶点坐标为(2,-4)D.开口向下,对称轴为x=2,顶点坐标为(2,4)【解析】选D.因为二次函数y=-3(x-2)2+4的二次项系数为-30,所以这条抛物线开口向下,同时不难看出它的对称轴为x=2,顶点坐标应为(2,4).3.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线解析式为()A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2C.y=(x-2)2+2D.y=(x+2)2-2【解析】选B.∵抛物线y=x2-4的顶点坐标是(0,-4),∴向右平移2个单位,再向上平移2个单位后的顶点坐标变为(2,-2),∴平移后的抛物线为y=(x-2)2-2.4.已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为()A.abB.abC.a=bD.不能确定【解析】选A.由解析式可以得出函数的顶点坐标是(-1,-b),存在最小值-b=1,所以b=-1,抛物线的开口向上,a0,所以ab.5.设A(-2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+a上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y2y1D.y3y1y2【解析】选A.∵函数的解析式是y=-(x+1)2+a,如图所示,∴对称轴是x=-1,∴点A关于对称轴对称的点A′是(0,y1),那么点A′,B,C都在对称轴的右边,而对称轴右边y随x的增大而减小,于是y1y2y3.【归纳整合】函数值的大小比较二次函数值的大小比较,取决于点到对称轴的距离:1.若a0,图象上的点到对称轴的距离越近,函数值越小.2.若a0,图象上的点到对称轴的距离越近,函数值越大.题组二:用顶点式y=a(x-h)2+k求抛物线解析式1.请写出一个二次函数,以(2,3)为顶点,且开口向上:.【解析】答案不唯一,设此抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3,且a0.答案:y=2(x-2)2+3(答案不唯一)2.已知x=1时,函数有最大值5,且图象经过点(0,-3),则该二次函数的解析式为.【解析】由于x=1时,函数有最大值5,所以顶点坐标是(1,5),那么函数解析式为y=a(x-1)2+5;图象经过点(0,-3),所以-3=a(0-1)2+5,a=-8,函数的解析式为y=-8x2+16x-3.答案:y=-8x2+16x-33.(2013·泉州中考)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).(1)求a的值.(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(mn3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.【解析】(1)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),∴a(1-3)2+2=-2,∴a=-1.(2)由(1)得a=-10,抛物线的开口向下,∴在对称轴x=3的左侧,y随x的增大而增大.∵mn3,∴y1y2.【想一想错在哪？】已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象的顶点坐标为(3,-1);④当x3时,y随x的增大而减小.则其中说法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个提示:函数y=a(x+h)2+k的顶点坐标为(-h,k),图象的对称轴为x=-h.