九年级数学下册 第26章二次函数 26.1二次函数及其图象 3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象

26.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象(第1课时)1.能利用描点法正确作出函数y=ax2+k,y=a(x-h)2的图象.(重点)2.经历二次函数y=ax2+k,y=a(x-h)2性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+k,y=a(x-h)2的性质及它们与函数y=ax2的关系.(重点、难点)3.理解二次函数y=ax2+k,y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.(重点、难点)一、二次函数y=ax2+k的图象与性质【思考】比较y=x2与y=x2+1的图象,回答下列问题:(1)当自变量x取同一数值时,函数y=x2+1的函数值都比函数y=x2的函数值___1.(2)问题(1)中的数值,反映在图象上,函数y=x2+1的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向___移动了___个单位.由(2)可以得到:函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向___平移___个单位得到的.大上1上1【归纳】1.抛物线y=ax2向______平移,就可得到抛物线y=ax2+k的图象.2.抛物线y=ax2+k开口方向与抛物线y=ax2_____,当a0时,开口向___,当a0时,开口向___,对称轴为y轴,顶点坐标为______.上(下)相同上下(0,k)二、二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.抛物线y=ax2向_______平移,就可得到抛物线y=a(x-h)2的图象.2.抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线______,顶点坐标为______.左(右)x=h(h,0)(打“√”或“×”)(1)抛物线y=ax2+k的图象与抛物线y=ax2的图象形状不相同.()(2)抛物线y=2(x+3)2的对称轴是直线x=3.()(3)抛物线y=3x2-5的顶点坐标为(0,-5).()××√知识点1二次函数y=ax2+k的图象与性质【例1】一条抛物线的形状、开口方向、对称轴与抛物线y=x2相同,并且抛物线过点(1,1).(1)求抛物线的关系式.(2)说明所求抛物线与抛物线y=x2有什么关系?并指明其顶点坐标.1212【解题探究】(1)①抛物线的形状、开口方向与y=x2相同说明抛物线的二次项系数是___.②抛物线的形状、开口方向、对称轴与y=x2相同,可设抛物线的关系式为y=_______.③将点(1,1)代入上面的关系式求得结果.答:将点(1,1)代入y=_______,得________=1,解得_____.∴y=_________.12121221x+k221x+k2211+k21k=2211x+22(2)所求抛物线是抛物线y=x2经过怎样的平移得到的?平移后的抛物线顶点的坐标是多少?提示:y=x2经过向上平移个单位可得所求抛物线y=x2+所求抛物线的顶点坐标是(0,).1212121,21212【总结提升】二次函数y=ax2+k性质的“一对等、一变化”1.对等:二次函数y=ax2+k对称轴为y轴的抛物线.2.变化:二次函数y=ax2+k与y=ax2的形状相同,但位置不同.y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象平移得到,当k0时,向上平移|k|个单位,当k0时,向下平移|k|个单位.知识点2二次函数y=a(x-h)2的图象与性质【例2】已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,且过点(1,-3).(1)求该抛物线的解析式.(2)该抛物线是由y=ax2经过怎样的平移得到的?(3)当x取何值时,y随x的增大而减小?当x取何值时,函数有最大(或最小)值?【思路点拨】根据抛物线对称轴→求出h的值→把点(1,-3)代入→求出a的值→得出抛物线解析式→应用性质解决问题.【自主解答】(1)由题意知h=-2,则抛物线的解析式为y=a(x+2)2,把点(1,-3)代入,得a(1+2)2=-3,解得a=-,所以抛物线的解析式为y=-(x+2)2.(2)根据抛物线的平移规律可得,抛物线y=-(x+2)2是由抛物线y=-x2向左平移2个单位得到的.(3)因为a0,所以抛物线的开口方向向下,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,即x-2时y随x的增大而减小.当x=-2时,函数有最大值.13131313【总结提升】二次函数左右平移“四字诀”1.左负右正:由y=ax2平移到y=a(x-h)2时符合h左负右正(h0,向右平移,h0,向左平移).2.左正右负:由y=ax2平移到y=a(x+h)2时符合h左正右负.题组一:二次函数y=ax2+k的图象与性质1.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位,则平移后的二次函数的解析式为()A.y=x2-1B.y=x2+1C.y=(x-1)2D.y=(x+1)2【解析】选A.∵已知抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),向下平移1个单位,顶点坐标变为(0,-1),∴平移后的二次函数的解析式为y=x2-1.2.抛物线y=-2x2+1的对称轴是()A.直线x=B.直线x=-C.y轴D.直线x=2【解析】选C.因为y=ax2+k(a≠0)的对称轴是y轴,所以抛物线y=-2x2+1的对称轴是y轴.12123.下列说法正确的是()A.函数y=ax2的图象过原点,是关于x轴对称的抛物线B.若y与x2+1成正比例,则y是x的二次函数C.函数y=ax2(a0),无论x为何值时,y的值都是正数D.|a|越大,抛物线y=ax2-1的开口越大【解析】选B.A.函数y=ax2的图象过原点,是关于y轴对称的抛物线,错误;B.若y与x2+1成正比例,则y=k(x2+1)(k≠0),即y是x的二次函数,正确;C.函数y=ax2(a0),当x=0时,y=0,错误;D.|a|越大,抛物线y=ax2-1的开口越小,错误.4.已知二次函数y=ax2-1图象的开口向下,则直线y=ax-1经过的象限是()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限【解析】选D.∵二次函数y=ax2-1图象的开口向下,∴a0;直线y=ax-1中,a0,直线经过二、四象限,又-10,∴直线也经过第三象限,∴直线y=ax-1经过第二、三、四象限.5.(2013·上海中考)如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是()A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=x2+1D.y=x2+3【解析】选C.根据“上加下减”得新抛物线的解析式是y=x2+2-1=x2+1.6.抛物线的顶点在x轴下方,则m=.【解析】∵抛物线是二次函数的图象,∴m2-4m-3=2,解得m=-1或m=5,又顶点在x轴下方,∴m-50,即m5,∴m=-1.答案:-12m4m3y2xm5（）题组二:二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.(2012·青海中考)把抛物线y=3x2向右平移1个单位后,所得的函数解析式为()A.y=3x2-1B.y=3(x-1)2C.y=3x2+1D.y=3(x+1)2【解析】选B.把抛物线y=3x2向右平移1个单位后,解析式变为y=3(x-1)2.2.顶点为(-6,0),开口向下,形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数关系式是()A.y=(x-6)2B.y=(x+6)2C.y=-(x-6)2D.y=-(x+6)2【解析】选D.由顶点为(-6,0),开口向下,形状与y=x2的图象相同,可知D项正确.1212121212123.抛物线y=2(x-1)2的图象上有三点,A(-1,y1),B(,y2),C(2,y3),则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y2y1y3C.y3y2y1D.y1y3y2【解析】选D.抛物线y=2(x-1)2的对称轴为直线x=1,所以当x=-1时的函数值与x=3时的函数值相等,又因为抛物线的开口方向向上,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,所以y1y3y2.24.已知抛物线y=-(x+2)2,当x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小.【解析】∵对称轴为x=-2,图象开口向下,∴当x-2时,y随x的增大而增大;当x-2时,y随x的增大而减小.答案:-2-25.二次函数y=a(x-4)2,当自变量x由0增加到2时,函数值增加6.(1)求出此函数的解析式.(2)说明函数值y随x值的变化情况.【解析】(1)当x=0时,y=16a,当x=2时,y=4a,所以4a-16a=6,解得a=-所以此二次函数的解析式为y=-(x-4)2.(2)二次函数图象的对称轴为直线x=4,当x4时,y随x的增大而增大,当x4时,y随x的增大而减小.1,212【想一想错在哪？】抛物线和y=-3x2的图象的形状相同,对称轴平行于y轴,并且顶点坐标为(-1,0),求此抛物线的解析式.提示:两条抛物线的形状相同,它们的开口方向可能相同也可能相反.