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第二十六章二次函数26.1二次函数及其图象26.1.1二次函数1.理解二次函数及其相关概念.(重点)2.会辨别哪些函数是二次函数.(重点)3.会用二次函数表示简单变量之间的关系.(重点、难点)请用适当的函数关系式表示下列问题情境中的两个变量之间的关系:(1)一石子投入平静的湖中央,激起的圆形波纹一圈圈向外传播,圆的面积S与半径r之间的函数关系式为_______.S=πr2(2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y,则y与x的关系式为y=________=___________.(3)矩形的长是4cm,宽是3cm,如果将其长增加xcm,宽增加2xcm,则面积增加到ycm2,则y与x的关系式为y=____________=_____________.2(1+x)22x2+4x+2(4+x)(3+2x)2x2+11x+12【归纳】1.二次函数的定义:形如____________________________的函数,叫做二次函数.其中x是自变量.2.相关概念:__是二次项系数,__是一次项系数,__是常数项.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)abc(打“√”或“×”)(1)函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)是二次函数.()(2)函数y=(x+1)2-(x-1)2是二次函数.()(3)在函数y=-2(x-2)2中,二次项的系数是-2,没有一次项,常数项是-2.()（4）函数y=是二次函数.（）2xx××××知识点1二次函数的有关概念【例1】下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=5x+1.(2)y=4x2-1.(3)y=-(x-1)2.(4)y=(x+2)2-x2.(5)y=2x2-x+.23x【解题探究】1.二次函数需满足哪三个条件？提示:（1）关系式：函数关系式是关于自变量的整式.（2）系数：二次项系数不为零.（3）次数：自变量的最高次数为2.2.根据二次函数关系式的要求可以判断____不是二次函数.3.根据次数的要求可以判断___________不是二次函数.4.综合1，2，3可以得到___________是二次函数.（5）（1），（4）（2），（3）【互动探究】当二次项的系数为字母或含有字母的代数式时,能否直接判断其是否为二次函数?提示:不能,若没有明确字母的取值,需要对字母的取值进行讨论.【总结提升】二次函数判断的“三步骤”知识点2列二次函数关系式【例2】某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm.（1）若平行于墙的一边的长为am，直接写出a与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围.（2）设苗圃园的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并指明函数的类型.（3）当这个苗圃园的面积为88m2时，求x的值．【思路点拨】应用矩形的周长、面积的计算公式,表示出函数关系式,求自变量的取值范围时,注意墙长18m的限制条件,求x的值时,注意自变量的取值范围.【自主解答】(1)a=30-2x(6≤x15).(2)设矩形苗圃园的面积为y,则y与x之间的函数关系式为y=xa=x(30-2x)=-2x2+30x.所以y是x的二次函数.(3)把y=88代入函数关系式得-2x2+30x=88,解得:x1=11,x2=4,又因为6≤x15,所以x=4不符合题意,舍去.所以x=11.【总结提升】根据实际问题列二次函数关系式的“三注意”1.认真审题,明确题中关键词语的意义及几何图形的结构特征.2.分清题目中的自变量和函数的关系.3.依据常见问题中的数量关系及几何图形中的计算公式,明确变量之间的关系,列出关系式.题组一:二次函数的有关概念1.下列函数不属于二次函数的是()A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)2-2x2D.y=1-x2123【解析】选C.把每一个函数式整理为一般形式，A.y=(x-1)(x+2)=x2+x-2，是二次函数；B.y=(x+1)2=x2+x+，是二次函数；C.y=2(x+3)2-2x2=12x+18，是一次函数；D.y=1-x2=-x2+1，是二次函数.12121233【归纳整合】二次函数的判断所有的二次函数都可以化为y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的形式.若给出的函数关系式较复杂，则先化为一般形式，再根据二次函数的定义进行判断.2.下列函数：①y=2x－1；②y=－；③y=x2+8x－2；④y=；⑤y=；⑥y=中，其中y是x的二次函数的是____（填序号）．5x33x12xax【解析】y=2x－1是一次函数；y=－是反比例函数；y=x2+8x－2是二次函数；因为y=中不是整式，故y=不是二次函数；y=是反比例函数；y=没有给出a≠0，不是整式，所以y=不是二次函数．答案:③5x33x33x33x12xaxaxax3.在二次函数y=-x2+1中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为.【解析】根据题意,二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1,0,1,其和为:-1+0+1=0.答案:04.请写出一个符合以下条件的y关于x的二次函数的关系式:(1)二次项系数是一次项系数的2倍,常数项为任意值.(2)二次项系数为-5,一次项系数为常数项的3倍.【解析】答案不唯一,根据二次函数的定义确定关系式.(1)y=4x2+2x-1.(2)y=-5x2+3x+1.5.若函数y=(m2-1)xm2-m为二次函数,求m的值.【解析】因为该函数为二次函数,所以解①得:m=2或-1,解②得:m≠1且m≠-1.所以m=2.22mm2,m10,①②题组二:列二次函数关系式1.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是()A.在一定的距离内汽车行驶的平均速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数与年份的关系C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度(h)与时间(t)的关系(不计空气阻力,其关系式为h=v0t-4.9t2,其中v0为发射信号弹的初速度)D.圆的周长与圆的半径之间的关系【解析】选C.A.距离一定,汽车行驶的平均速度与行驶的时间的积是常数.在距离一定时,平均速度与时间成反比例关系;B.设原来的人口是a,x年后的人口数是y,则y=a(1+1%)x,不是二次函数关系;C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度h与时间t的关系(不计空气阻力)是二次函数;D.设半径是r,则周长c=2πr,是一次函数关系.2.在半径为4cm的圆中,挖去一个边长为xcm的正方形,剩下部分面积为ycm2,则关于y与x之间的函数关系式为()A.y=πx2-4yB.y=16π-x2C.y=16-x2D.y=x2-4y【解析】选B.圆的面积是16πcm2,正方形的面积是x2cm2,则y与x之间的函数关系式为y=16π-x2.3.把一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为xcm,面积为ycm2,则y与x之间的函数关系式为()A.y=-x2+50xB.y=x2-50xC.y=-x2+25xD.y=-2x2+25【解析】选C.设这个长方形的一边长为xcm,则相邻另一边长为(25-x)cm,则长方形的面积y=x(25-x)=-x2+25x.4.如图,△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形,∠ABC=∠DEF=90°,AB=4cm,BC与EF在直线l上,开始时C点与E点重合,让△ABC沿直线l向右平移,直到B点与E点重合为止,设△ABC与△DEF的重叠部分(即图中阴影部分)的面积为ycm2,CE的长度为xcm,则y与x之间的函数关系式为.【解析】由题意得,重叠的部分为等腰直角三角形,且自变量的取值范围是0≤x≤4,所以y与x之间的函数关系式为y=x2.答案:y=x2(0≤x≤4)12125.用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若窗框的宽为xcm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？【解析】由题意得，矩形的周长为800cm,∴矩形的长为cm，∴y=x×=-x2+400x(0＜x＜400).y是x的二次函数.8002x28002x2【想一想错在哪？】若函数是关于x的二次函数,求m的值.提示:忽视了二次函数对二次项系数不为0的要求.2m2m1ym3xmx1