九年级数学下册 第3章圆 3.2点、直线与圆的位置关系 圆的切线 3.2.2圆的切线的判定、性质和画

3.2.2圆的切线的判定、性质和画法1.探索并理解圆的切线的判定方法.(重点、难点)2.掌握切线的性质和画法.(重点)3.灵活运用切线的判定和性质进行计算和证明.(重点、难点)1.圆的切线的判定定理.画☉O,在☉O上任取一点A,连结OA,过点A作直线l⊥OA.画图:【思考】上面所画的直线l是否为☉O的切线,理由是什么?提示:直线l是☉O的切线,因为直线l到圆心O的距离等于☉O的半径.【总结】圆的切线的判定定理:经过半径的_____并且_______这条半径的直线是圆的切线.外端垂直于2.圆的切线的性质定理.如图,直线l为☉O的切线,点A为切点,求证:l⊥OA.【证明】假设OA与l_______,过点O作OP⊥l,垂足为P,∴在Rt△OPA中,OA__OP,∴直线l与☉O_____,这与直线l是__________相矛盾,∴OA⊥l.不垂直相交☉O的切线【总结】圆的切线的性质定理:圆的切线_____于过_____的半径.垂直切点(1)经过半径上一点垂直于半径的直线是圆的切线.()(2)圆的切线垂直于半径.()(3)画圆切线的方法是:画半径的垂线.()(4)圆有无数条切线,经过圆上一点的切线只有一条.()×××√知识点1切线的判定【例1】(2013·滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点O在边AB上,☉O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.求证:直线EF是☉O的切线.【思路点拨】连结OE,证出OE⊥EF,即可说明直线EF是☉O的切线.所以证出OE∥AC即可.【自主解答】如图,连结OE,∵OE=OB,∴∠B=∠OEB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠OEB=∠C,∴OE∥AC.∵EF⊥AC,∴OE⊥EF,∴直线EF是☉O的切线.【总结提升】切线判定的两种思路1.连半径,证垂直:若已知直线与圆有公共点,则连结圆心与公共点,证明垂直.2.作垂直,证等径:若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于圆的半径.知识点2切线的性质【例2】(2013·鞍山中考)如图,点A,B在☉O上,直线AC是☉O的切线,OC⊥OB,连结AB交OC于点D.(1)AC与CD相等吗?为什么?(2)若AC=2,AO=,求OD的长度.5【解题探究】1.已知AC是☉O的切线,点A为切点,能得到什么结论?提示:∵OA为☉O的半径,∴OA⊥AC.2.∵OA=OB,∴∠OAB=∠____.∵∠BOD=90°,∴∠OBA+∠____=90°.∵OA⊥AC,∴∠OAB+∠____=90°,∴∠____=∠ODB,∵∠ODB=∠____.∴∠CAD=∠____,∴___=___.OBAODBCADCADADCADCACCD3.在Rt△AOC中，AC=2，AO=.如何求OC？提示：4.由AC=2，AO=还能求出哪些线段的长度？提示：∵OA=OB，CA=CD，∴可得CD=2，OB=.5.设OD为x，则OC的长为____，在Rt△OAC中，根据勾股定理得=______,解之得x=__，∴OD的长度为__.5522OC253.5x+22225(x+2)211【互动探究】OC⊥OB，则OC是⊙O的切线吗？提示：不是.因为OC不经过半径的外端.【总结提升】关于切线性质的五点理解1.切线与圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.提醒：对于任意一条直线，如果具备下列条件中的两个，就可以推出第三个结论：(1)垂直于切线.(2)经过切点.(3)经过圆心.题组一:切线的判定1.下列命题中,正确的是()A.一条射线与圆只有一个交点,这条射线就是圆的切线B.经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线C.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线D.到圆心的距离大于半径的直线是圆的切线【解析】选C.因为和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,故A错;B项少条件“经过半径的外端”,故B错;到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线,故D错.2.矩形的两条邻边长分别为2.5和5,若以较长一边为直径作半圆,则矩形的各边与半圆相切的线段最多有()A.0条B.1条C.2条D.3条【解析】选D.根据题意画出如图所示的图形,OA=OE=OB=2.5,所以以AB为直径的☉O与AD,CD,BC相切.3.如图,点A,B,D在☉O上,∠A=25°,OD的延长线交直线BC于点C,且∠OCB=40°,直线BC与☉O的位置关系为.【解析】∵∠A=25°,∴∠BOD=50°,又∵∠OCB=40°,∴∠OBC=90°,∴BC为☉O的切线.答案:相切4.如图已知AB为☉O的直径,C,D是直径AB同侧圆周上两点,且,过D作DE⊥AC于点E.求证:DE是☉O的切线.CDBD【证明】连结OD，AD.∵，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴AE∥OD.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线.CDBD5.(2013·湖州中考)如图,已知P是☉O外一点,PO交☉O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连结PB.(1)求BC的长.(2)求证:PB是☉O的切线.【解析】(1)连结OB,∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,∴∠COB=60°,又∵OC=OB.∴△OBC是正三角形,∴BC=OC=2.(2)∵BC=CP,∴∠CBP=∠CPB,∵△OBC是正三角形,∴∠OBC=∠OCB=60°.∴∠CBP=30°,∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,∴OB⊥BP,∵点B在☉O上,∴PB是☉O的切线.【归纳整合】直线是圆的切线的三种判定方法:第一种:当这条直线与圆有公共点时,常连结这个点和圆心,证明这条直线与这条半径垂直.第二种:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.第三种:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.题组二:切线的性质1.如图所示,PT切☉O于点T,若PT=4,PA=2,则☉O的半径是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.连结OT,则OT⊥PT.设OT=OA=R.在Rt△POT中,OP=2+R.根据勾股定理,得R2+42=(R+2)2,解得R=3.故选C.2.(2013·毕节中考)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点O为BC的中点,以O为圆心作☉O交BC于点M,N,☉O与AB,AC相切,切点分别为D,E,则☉O的半径和∠MND的度数分别为()A.2,22.5°B.3,30°C.3,22.5°D.2,30°【解析】选A.∵OD⊥AB,CA⊥AB,∴OD∥CA.又∵OB=OC,∴BD=DA=2.∵∠B=45°,∴∠DOB=45°,∴OD=BD=2,∠MND=∠DOB=22.5°.123.(2013·济南中考)如图,AB是☉O的直径,点D在☉O上,∠BAD=35°,过点D作☉O的切线交AB的延长线于点C,则∠C=度.【解析】连结OD,则∠ODC=90°,∠DOC=2∠BAD=70°,因此∠C=90°-70°=20°.答案:204.(2013·龙岩中考)如图,PA是☉O的切线,A为切点,B是☉O上一点,BC⊥AP于点C,且OB=BP=6,则BC=.【解析】∵PA是☉O的切线,∴OA⊥PA,∵BC⊥AP,∴BC∥OA,∵OB=BP=6,∴OA=6,∴BC=OA=3.答案:3125.(2013·株洲中考)已知AB是☉O的直径,直线BC与☉O相切于点B,∠ABC的平分线BD交☉O于点D,AD的延长线交BC于点C.(1)求∠BAC的度数.(2)求证:AD=CD.【解析】(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.又因为BC与☉O相切于点B,∴∠ABC=90°.又因为BD平分∠ABC,∴∠ABD=45°,∴∠BAC=90°-∠ABD=45°.(2)∵∠ABC=90°,∠BAC=45°,∴∠C=45°,∴AB=BC.又因为BD平分∠ABC,∴AD=CD(三线合一).【想一想错在哪？】如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上,且与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时运动时间为秒.提示:☉P在点O的左、右两边各相切一次,本题错在只考虑一种情况,而遗漏另一种情况!