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3.2点、直线与圆的位置关系，圆的切线3.2.1点、直线与圆的位置关系1.了解点与圆、直线与圆之间的位置关系.(重点)2.理解点与圆、直线与圆的位置关系中，圆心到点、圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系，并能利用它们之间的关系解决问题.(重点、难点)1.点与圆的位置关系：若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则(1)d___r.(2)d__r.(3)d___r.＞=＜2.直线与圆的位置关系：(1)直线和圆的位置关系_______________图形公共点个数____0公共点名称交点_____无直线名称割线_____无相交相切相离21切点切线(2)直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离d和半径r的关系.①如图(a),直线l和☉O相离⇔d__r.②如图(b),直线l和☉O相切⇔d__r.③如图(c),直线l和☉O相交⇔d__r.=(1)圆的半径为2cm,圆心到直线的距离为cm,则直线与圆相离.()(2)点在圆外,则圆的半径小于点到圆心的距离.()(3)当一条直线与圆有公共点时,直线与圆一定相交.()(4)和圆有公共点的直线即为圆的切线.()(5)当直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径.()×××√√3知识点1点与圆的位置关系【例1】如图,已知△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作☉C,半径为r.(1)当r取什么值时,点A,B在☉C外?(2)当r取什么值时,点A在☉C内,点B在☉C外?【解题探究】1.要从数量上判断点与圆的位置关系需要确定哪几个量?提示:需要确定点到圆心的距离与圆的半径.2.点A,B到圆心C的距离分别是多少?这两个点均在☉C外,☉C的半径r需满足怎样的条件?提示:点A到圆心C的距离d=3,点B到圆心C的距离d=4,点A,B均在☉C外,则☉C的半径r需满足解得r3.3r4r＞，＞，3.点A在⊙C内，点B在⊙C外，⊙C的半径r需满足怎样的条件？提示：点A在⊙C内，点B在⊙C外，则⊙C的半径r需满足解得3＜r＜4.3r4r＜，＞，【互动探究】点A，B至少有一个点在⊙C内，则半径r的取值范围是多少？提示：r3.【总结提升】点与圆位置关系的两点注意1.等价关系：点与圆的位置关系⇔点到圆心的距离(d)和半径(r)的关系，即由位置关系可以判断数量关系，反过来由数量关系可以判断位置关系.2.数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.知识点2直线与圆的位置关系【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，若以C为圆心，r为半径作⊙C.(1)当r取何值时，直线AB与⊙C相切？(2)当r取何值时，直线AB与⊙C相离？【解题探究】1.要从数量上判断直线和圆的位置关系需要确定哪几个量?提示:圆心到直线的距离与圆的半径.2.你能求出圆心C到直线AB的距离d吗?提示:如图,作CD⊥AB,垂足为D,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，∴d=CD=4.8.22BCABAC8.CDABACBC,22CD1068.22即3.根据CD的长度d，思考当r分别满足怎样的条件时，直线和圆相切、相离？提示:当r=d,即r=4.8时，直线AB和⊙C相切.当r＜d,即r＜4.8时，直线AB和⊙C相离.【总结提升】由数量关系判断直线与圆的位置关系的步骤题组一:点与圆的位置关系1.已知点A,B和半径为r的☉O,且OArOB,则点A,B和☉O的位置关系是()A.点A在圆外,点B在圆内B.点A在圆内,点B在圆外C.点A,B都在圆上D.不能确定【解析】选B.因为☉O的半径为r,OAr,所以点A在圆内;OBr,即点B在圆外,故选项B正确.2.已知☉O的半径为4cm,A为线段OB的中点,当OB=5cm时,点A在☉O;当OB=8cm时,点A在☉O;当OB=9cm时,点A在☉O.【解析】由A为线段OB的中点,当OB=5cm时,OA=2.5cmr,所以点A在☉O内;当OB=8cm时,OA=4cm=r,所以点A在圆上;当OB=9cm时,OA=4.5cmr,所以点A在圆外.答案:内上外3.平面上有☉O和圆外一点A,点A到☉O上一点的距离最长为6cm,最短为4cm,则☉O的半径为cm.【解析】因为点A到☉O上的一点的最长距离为6cm.最短距离为4cm,所以☉O的直径为6-4=2(cm),所以☉O的半径为1cm.答案:14.如图所示,已知矩形ABCD的边AB=3cm,AD=4cm.(1)以点A为圆心,4cm为半径作☉A,则B,C,D与☉A的位置关系如何?(2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则☉A的半径r的取值范围是多少?【解析】(1)连结AC.∵AB=3cm4cm,AD=4cm,由勾股定理可得AC=5cm4cm,∴点B在☉A内,点D在☉A上,点C在☉A外.(2)以点A为圆心,半径大于3cm且小于5cm时,至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,即3cmr5cm.题组二:直线与圆的位置关系1.(2013·铜仁中考)☉O的半径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与☉O的位置关系为()A.相切B.相交C.相离D.不能确定【解析】选B.因为d=4,r=8,所以dr,则直线l与☉O的位置关系是相交.2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=4cm,以点C为圆心,以2cm的长为半径作圆,则☉C与AB的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相切或相交【解析】选B.作CD⊥AB于点D.∵∠B=30°,BC=4cm,∴CD=2cm,等于半径,∴AB与☉C相切.3.☉O的半径为2cm,直线l和☉O有公共点,若圆心到直线l的距离是d,则d的取值范围是.【解析】∵直线l和☉O有公共点,∴直线l和☉O相交或相切,∴d≤2cm.答案:d≤2cm【归纳整合】判断直线和圆位置关系的两种方法(1)由直线与圆的公共点的个数来判断.(2)由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.4.在△ABC中,∠A=45°,AC=4,以C为圆心,r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2.(2)r=2.(3)r=3.【解析】过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△ACD中,∵∠A=45°,∴∠ACD=∠A,CD=AD.2又∵CD2+AD2=AC2,AC=4,∴2CD2=16,CD=2,即圆心C到直线AB的距离d=2.(1)当r=2时,dr,因此☉C与直线AB相离.(2)当r=2时,d=r,因此☉C与直线AB相切.(3)当r=3时,dr,因此☉C与直线AB相交.222【想一想错在哪？】设☉O的半径为3,点O到直线l的距离为d,若直线l与☉O有公共点,求d应满足的条件.提示:有公共点的意思是至少有一个公共点,漏掉两个公共点的情况!