九年级数学下册 第3章圆 3.1圆 3.1.3过不在同一直线上的三点作圆课件 湘教版

3.1.3过不在同一直线上的三点作圆1.探索平面内确定一个圆的条件.(重点)2.理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，并能经过不在同一直线上的三个点作圆.(重点)3.了解三角形的外接圆及外心.(难点)确定圆的条件(1)确定一个圆需要确定___________.(2)经过一点A可以作_____个圆.(3)经过两点A，B可以作_____个圆，这些圆的圆心都在线段AB的___________上.圆心和半径无数无数垂直平分线【思考】已知三点A，B，C，要经过这三点作圆，这样的圆你能作出吗？①三个点A，B，C在同一直线上，能否作圆？提示：当三个点A，B，C在同一直线上时，AB，BC的垂直平分线平行，无交点，∴不能作圆.②三个点A，B，C不在同一直线上，圆心在哪儿？能否作圆？能作几个圆？提示：圆心在AB，BC的垂直平分线的交点处.当三个点A，B，C不在同一直线上时，AB，BC的垂直平分线相交，设交点为O,则OA=OB=OC，∴能作圆，∵AB，BC的垂直平分线的交点只有1个，∴只能作1个圆.【总结】1.过一点可以作_____个圆,过两点可以作_____个圆,过_______________的三点确定一个圆.过同一直线上的三点_____作圆.2.三角形的外接圆:经过一个三角形各顶点的圆.3.三角形的外心:它是三角形的外接圆的_____,它是三角形_______________的交点,它到三角形三个顶点的距离_____.无数无数不在同一直线上不能圆心三边垂直平分线相等(1)每个三角形都有一个外接圆.()(2)三角形的外心是三角形角平分线的交点.()(3)直角三角形的外心在斜边上.()(4)过四点不能作圆.()√√××知识点1确定圆的条件【例1】如图为一只残缺的破圆形瓷盘,AB的垂直平分线交圆于点C,交AB于点D,已知AB=16cm,CD=4cm.(1)作出残片所在的圆(不写作法,保留作图痕迹)(2)求残片所在圆的半径.【思路点拨】圆心到圆上各点的距离相等,所以连结BC,作BC的垂直平分线,它与CD所在的直线的交点即为圆心.连结OB,则在Rt△OBD中,若OB=x,则OD=x-4,BD=8,根据勾股定理可得(x-4)2+82=x2.【自主解答】(1)如图.(2)连结OB.设OB=OC=xcm,则OD=x-4,∵BD=8,∴在Rt△BOD中,根据勾股定理得:(x-4)2+82=x2,解得x=10,所以此残片所在圆的半径为10cm.【总结提升】确定已知弧所在圆的圆心的三种方法1.利用圆的轴对称性,将圆对折,确定圆的两条直径,两直径的交点即为圆心.2.利用圆周角定理的推论,根据90°的圆周角所对的弦为直径,确定直径,然后确定两直径的交点或一条直径的中点即为圆心.3.根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的方法确定圆心.知识点2与圆内接三角形有关的运算【例2】(2013·武汉中考)如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点P是的中点，连结PA，PB，PC.若∠BPC=60°.求证：AC=AP.AB3【解题探究】(1)△ABC是什么特殊的三角形？提示：∠BPC和∠BAC是所对的圆周角，则∠BPC=∠BAC=60°，而AB=AC，所以△ABC是等边三角形.(2)点P是的中点，则所以∠PCA=∠____=∠ACB=_____.BCABPAPB,PCB1230°(3)△PAC是直角三角形，为什么？提示：∠PAB与∠PCB是同一弧PB所对的圆周角，则∠PAB=∠PCB=30°，∴∠PAC=∠BAC+∠PAB=60°+30°=90°，∴△PAC是直角三角形.(4)在Rt△PAC中，tan∠PCA=______,即tan30°=_____,APACAPACAPAC3AP.tan30【互动探究】若AP=1，则⊙O的面积为多少？提示：∵∠PAC=90°，∴弦PC为⊙O的直径,∴PC2=12+()2=4,∴PC=2,∴S⊙O=π×12=π.3【总结提升】三角形外接圆圆心的“三种”位置1.锐角三角形的外心在三角形内部，如图1；2.直角三角形的外心是斜边的中点，如图2；3.钝角三角形的外心在三角形外部，如图3.题组一:确定圆的条件1.确定一个圆的条件是()A.两个点确定一个圆B.三个点确定一个圆C.四个点确定一个圆D.不共线的三个点确定一个圆【解析】选D.两个点能确定无数个圆,所以选项A错误;根据不在同一直线上的三个点确定一个圆,所以选项B错误,选项D正确;四个点不一定能确定圆,如一般的平行四边形的四个顶点就不能确定圆.2.若AB=4cm,则经过点A,B,且半径为3cm的圆的个数是个.【解析】如图,☉O1和☉O2.答案:23.已知直线l:y=x+4和点A(0,4),B(-4,0),点C为直线l上一点,且点A,B,C两两不重合,试判断点A,B,C是否在同一个圆上.【解析】当x=0时,y=0+4=4;当x=-4时,y=-4+4=0.故A(0,4),B(-4,0)在直线l上,所以A,B,C在一条直线上,所以点A,B,C不在同一个圆上.4.已知，请找出所在圆的圆心，并将圆的其他部分作出来.【解析】作法：(1)在上任取一点C(点C与A，B两点不重合).(2)连结AC，BC.(3)分别作AC，BC的垂直平分线，它们的交点O就是所在圆的圆心.ABABABAB(4)以O为圆心，以OA为半径作出⊙O，如图所示.题组二:与圆内接三角形有关的运算1.(2013·漳州中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,连结OB,OC,若OB=BC,则∠BAC等于()A.60°B.45°C.30°D.20°【解析】选C.∵OB=OC=BC,∴∠BOC=60°,∴∠BAC=∠BOC=30°.122.如图所示,已知☉O是△ABC的外接圆,若AB=AC=5,BC=6,则☉O的半径为()A.4B.3.25C.3.125D.2.25【解析】选C.连结OB,AO，并延长AO交BC于D点，由AB=AC，得即AD⊥BC,BD=×6=3.根据勾股定理，得设半径OB=R，则OD=4-R，由R2=32+(4-R)2,解得R=3.125.ABAC,11BC222222ADABBD534，3.△ABC的边长AB=1cm,则其外接圆的半径是________.【解析】因为AB2+AC2=12+2=3=BC2.所以△ABC为直角三角形，所以其外接圆的半径为△ABC斜边的一半，即答案：cmAC2cm,BC3cm,3r.2324.(2013·常州中考)如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=_____.【解析】因为∠BAC=120°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=30°,所以∠BDA=30°，因为BD为直径，所以∠BAD=90°，所以∠ABD=60°,所以∠DBC=30°.在Rt△ABD中,在Rt△BCD中,DC=BD·sin30°=答案:AD6BD43,cos303214323.2235.⊙O是△ABC的外接圆,∠BAC=120°,AB=AC=3,BD是⊙O的直径,连结AD.求AD的长.【解析】∵BD是直径,∴∠BAD=90°.又∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠C=30°,∴∠D=30°,而AB=3,∴BD=2AB=6,22AD6333.【想一想错在哪？】已知O是△ABC的外心，∠A=α，求∠BOC的大小．提示：因为三角形的形状不确定，即外心的位置不确定，此题应分情况讨论．本解只是考虑了点O在△ABC内部的情况.