九年级数学下册 第2章二次函数阶段专题复习课件 湘教版

阶段专题复习第2章请写出框图中数字处的内容:①_______________________________________；②_______；③______________________________________________；④_____________；⑤___________；形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数抛物线当a0时,抛物线开口向上,当a0时,抛物线开口向下2b4acb(,)2a4abx2a直线⑥___________________________________________________________________________________________________________________________________________________；⑦____________________________________________________________________________________________________.当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大；当a0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小有两个交点⇔方程有两个不相等的实数根；有一个交点⇔方程有两个相等的实数根；没有交点⇔方程没有实数根考点1待定系数法求二次函数解析式【知识点睛】1.二次函数解析式常用的三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标)2.选择不同表达形式求二次函数关系式的技巧:(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)的形式,然后组成三元一次方程组来求解.(2)当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.(3)当已知抛物线与x轴的交点(或交点横坐标)或已知抛物线与x轴一个交点和对称轴时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)的形式.【例1】(2013·宁波中考)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标.(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.【思路点拨】(1)设出抛物线的解析式(交点式);把点C的坐标代入求出抛物线解析式,化为顶点式,求出顶点坐标.(2)答案不唯一,如将抛物线的顶点移至原点.【自主解答】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).(2)答案不唯一,如先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上.【中考集训】1.(2013·永州中考)如图,已知二次函数y=(x-m)2-4m2(m0)的图象与x轴交于A,B两点.(1)写出A,B两点的坐标(坐标用m表示).(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上,求二次函数的解析式.(3)设以AB为直径的☉M与y轴交于C,D两点,求CD的长.【解析】(1)对于抛物线y=(x-m)2-4m2(m0),令y=0,解得:x1=-m,x2=3m,∴A(-m,0),B(3m,0).(2)设以AB为直径的圆圆心为M,∵AB是直径,顶点P在圆上,则∠APB=90°,由于抛物线与圆组成的是轴对称图形,2221PAPBAB,PMAB.22114m(3mm)m.223yxx.4，解得二次函数的解析式为(3)连结CM,由A(－m，0)，B(3m，0)知M点的坐标为(m，0)，OB=3m，MB=2m.22OMC,COMCOM3mOBCDCD2OC23m.在直角三角形中－，而，2.(2013·鞍山中考)如图,已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2.(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.(2)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D,已知P为x轴上的一个动点,且△PBD为直角三角形,求点P的坐标.【解析】(1)∵y=0.5x+2交x轴于点A,∴0=0.5x+2,∴x=-4,与y轴交于点B,∵x=0,∴y=2,∴A(-4,0),B(0,2).∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C,且OC=2,∴可设二次函数y=a(x-2)2,把B(0,2)代入,得a=0.5,∴二次函数的解析式为y=0.5x2-2x+2.(2)(Ⅰ)当B为直角顶点时,如图1,过B作BP1⊥AD交x轴于P1点,连结DP1,由Rt△AOB∽Rt△BOP1,1111AOBO42OP1P(10).BOPO2OP，，，，(Ⅱ)当D为直角顶点时,过D作P2D⊥BD交x轴于点P2,连结BP2,如图2,将y=0.5x+2与y=0.5x2-2x+2联立求出两函数的交点坐标:D点坐标为(5,4.5),2222222295ADDAPBAOBOAADP2ABAO254ABOAPDAPADAP952AP11.25OP11.2547.25P(7.250).则，，，∽，，，解得，则，故点坐标为，(Ⅲ)当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，如图3,设P3(a，0)，则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D，得∵方程无解，∴点P3不存在，综上，点P的坐标为(1，0)和(7.25，0).33OPOBDEPE，a24.55a，考点2二次函数的图象和性质【知识点睛】1.系数a,b,c与二次函数的图象的关系:(1)a决定开口方向及开口大小.当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;|a|越大,抛物线的开口越小.(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=,故:①b=0时,对称轴为y轴;②0(即a,b同号)时,对称轴在y轴左侧;③0(即a,b异号)时,对称轴在y轴右侧.b2ababa(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c).即:①c=0,抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴;③c0,与y轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.2.二次函数图象的平移规律:平移不改变图形的形状和大小,因此抛物线在平移的过程中,图象的形状、开口方向必相同,即a不变,所以抛物线y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到.其平移的规律用语言来表示可以归结为:“上加下减,左加右减”,平移时具体的对应关系可以用下列框图来表示:【例2】(2013·鞍山中考)如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论:①abc0;②b+2a=0;③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0);④a+cb;⑤3a+c0.其中正确的结论有()A.5个B.4个C.3个D.2个【思路点拨】根据抛物线的开口方向,对称轴位置及与y轴交点位置判断a,b,c的符号从而判断①,根据对称轴判定②,根据抛物线的对称性判断③,根据x=-1时的函数值判断④⑤.【自主解答】选B.∵开口向上,∴a0,∵与y轴交于负半轴,∴c0,∵对称轴x=0,∴b0,∴abc0,故①正确;∵对称轴x==1,∴b+2a=0,故②正确;b2ab2a∵抛物线与x轴的一个交点为(-2,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(4,0),故③正确;∵当x=-1时,y=a-b+c0,∴a+cb,故④错误;∵a-b+c0,b+2a=0,∴3a+c0,故⑤正确.故选B.【中考集训】1.(2013·枣庄中考)将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3【解析】选A.由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为y=3x2+3;由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为y=3(x+2)2+3.2.(2013·德州中考)函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示,有以下结论:①b2-4c0;②b+c+1=0;③3b+c+6=0;④当1x3时,x2+(b-1)x+c0.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为抛物线与x轴没有交点,所以b2-4c0,①错误;因为抛物线y=x2+bx+c与y=x的交点为(1,1),(3,3),所以当x=1时,y=1,代入y=x2+bx+c,得b+c+1=1;当x=3时,y=3,代入y=x2+bx+c,得3b+c+9=3,所以3b+c+6=0,所以②错误,③正确;由图象可知,当1x3时,x2+bx+cx,即x2+(b-1)x+c0,④正确.3.(2013·张家界中考)若正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小,则它和二次函数y=mx2+m的图象大致是()【解析】选A.∵正比例函数y=mx(m≠0),y随x的增大而减小,∴该正比例函数图象经过第二、四象限,且m0.∴二次函数y=mx2+m的图象开口向下,且与y轴交于负半轴.综上所述,符合题意的只有A选项.4.(2012·崇左中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点A(-2,0),O(0,0),B(-3,y1),C(3,y2)四点,则y1与y2的大小关系正确的是()A.y1y2B.y1y2C.y1=y2D.不能确定【解析】选B.由图象经过点A(-2,0),O(0,0),a0,可知其图象是开口向下,且对称轴是x=-1,-3比3离对称轴更近,∴y1y2.【归纳整合】二次函数比较大小的三种方法1.代入数值计算函数值比较大小.2.在对称轴的同侧根据函数的增减性比较大小.3.在对称轴的异侧根据开口方向和距对称轴距离的远近比较大小.5.(2012·大连中考)如图,一条抛物线与x轴交于A,B两点,其顶点P在折线C-D-E上移动,若点C,D,E的坐标分别为(-1,4),(3,4),(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设抛物线顶点在C点时解析式为y=a(x+1)2+4,解得a=-1,当抛物线顶点运动到E点时,解析式就为y=-(x-3)2+1,令y=0,解得x1=2,x2=4.故点A的横坐标的最大值为2.6.(2012·佳木斯中考)如图,抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0).(1)求此抛物线的表达式.(2)写出顶点坐标及对称轴.(3)若抛物线上有一点B,且S△OAB=3,求点B的坐标.【解析】(1)把(0,0),(2,0)代入y=x2+bx+c,得所以抛物线的表达式为y=x2-2x.(2)∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点坐标为(1,-1),对称轴为直线x=1.c0b242bc0c0，－，解得，，(3)设点B的坐标为(x,t),则×2|t|=3，解得t=3或t=-3,∵顶点纵坐标为-1,-3-1(或方程x2-2x=-3无解),∴t=3,∴x2-2x=3,解得x1=3,x2=