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2.3.2二次函数与一元二次方程的联系(第2课时)1.理解二次函数与一元二次方程的联系.(重点)2.会利用二次函数的图象求解一元二次方程.1.一元二次方程根的图象解法.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的_______就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___.横坐标根2.利用二次函数图象求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的近似根的方法.(1)先画出函数________________的图象;(2)确定抛物线与x轴的交点横坐标分别在哪两个相邻的整数之间;(3)列表,在(2)中的两整数之间取值,从而确定方程的近似根.y=ax2+bx+c(a≠0)(1)抛物线与y轴不一定有交点.()(2)抛物线y=x2-x与x轴只有一个交点.()(3)利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确值.()(4)如果抛物线的顶点在x轴上,那么抛物线与x轴有一个交点.()(5)一元二次方程ax2+bx+c=h的解是二次函数y=ax2+bx+c的函数值为h时对应自变量x的值.()×××√√知识点利用函数图象求一元二次方程的近似根【例】利用二次函数的图象求一元二次方程4x2-8x+1=0的近似解.(精确到0.1)【解题探究】(1)一元二次方程4x2-8x+1=0的解是哪个二次函数与x轴的交点的横坐标?提示:是y=4x2-8x+1与x轴的交点的横坐标.(2)请作出(1)中的二次函数的图象.提示:作图如下,(3)观察图象,方程根的个数和大致范围是什么?提示:方程有两个根,一个在0和1之间,一个在1和2之间.(4)请借助计算器探索并确定方程的解是什么?提示:x…0.10.2…y…0.24-0.44…x…1.81.9…y…-0.440.24…由图象可知方程的近似根是0.1或1.9.【总结提升】求一元二次方程近似根的“四步法”题组:利用函数图象求一元二次方程的近似根1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=()A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3【解析】选D.∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-1,-3.2),∴-=-1,∴-=-2,∵x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,∴x1+x2=-,又∵x1=1.3,∴x1+x2=1.3+x2=-2,∴x2=-3.3.b2ababa2.小亮通过观察二次函数y=2x2+2x-1的图象,发现它与x轴的两个交点一个在-1和-2之间,另一个在0和1之间.并用计算器进行探索,得到下表,由此可知方程2x2+2x-1=0的一个近似根是()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4x0.10.20.30.4y-0.78-0.52-0.220.12【解析】选D.由题意可知方程2x2+2x-1=0的根一个在-1和-2之间,另一个在0和1之间.当x由0.1向0.3变换过程中y值一直在增大,并越来越接近0,当x=0.4时,y值大于0,则方程的一个根在0.3和0.4之间,x=0.4时的y值比x=0.3时更接近0,所以方程的一个近似根为0.4.3.对于二次函数y=x2+6x+1,当x=-5.8时,y=-0.160;当x=-5.9时,y=0.410.那么方程x2+6x+1=0的一个根的近似值是.(精确到0.1)【解析】因为y=x2+6x+1的对称轴是x=-3,且当x=-5.8时,y=-0.160;当x=-5.9时,y=0.410.所以方程x2+6x+1=0的一个根的近似值为-5.8.答案:-5.84.利用函数图象求得方程2x2-6x+3=0的解是.(精确到0.1)【解析】∵方程2x2-6x+3=0的解就是函数y=2x2-6x+3的图象与x轴的交点的横坐标,y=2x2-6x+3的图象如图所示:∴方程2x2-6x+3=0的解是x1=2.4,x2=0.6.答案:x1=2.4,x2=0.65.(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象.(2)根据方程的根与函数图象之间的关系,将方程x2-2x-1=0的根在图上近似地表示出来.(描点)【解析】(1)(2)如图.6.已知下表:(1)求a,b,c的值,并在表内空格处填入正确的数.(2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax2+bx+c的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax2+bx+c的图象示意图,由图象确定,当x取什么实数时,ax2+bx+c0?x012ax21ax2+bx+c33【解析】(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.空格内分别应填入0,4,2.(2)①在x2-2x+3=0中,∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-80,∴不存在实数x使ax2+bx+c=0.c3a1a1b24a2bc3c3，，，，，，②函数y=x2-2x+3的图象示意图如图所示,观察图象得出,无论x取什么实数总有ax2+bx+c0.【知识拓展】二次函数与一元二次不等式的关系二次函数y=ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c0的解.【想一想错在哪？】利用函数图象求一元二次方程x2-4x+3=2的解.提示:抛物线y=x2-4x+3与x轴交点的横坐标应是方程x2-4x+3=0的解.