九年级数学下册 第2章二次函数 2.2 二次函数的图象与性质第1课时课件 湘教版

2.2二次函数的图象与性质第1课时1.探索二次函数y=ax2的图象的作法.(重点)2.根据二次函数y=ax2的图象理解y=ax2的性质(图象的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标、开口大小等).(重点)3.能应用二次函数y=ax2的性质解决相关问题.(难点)观察函数y=x2,y=x2,y=2x2,y=-x2,y=-x2和y=-2x2的图象,找出它们的异同点:1212(1)函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线,它关于__轴对称,它的顶点坐标是______.(2)由y=x2,y=x2,y=2x2的图象,可知:当a0时,抛物线y=ax2开口_____,顶点是抛物线上位置_____的点,a越大,抛物线的开口越___.(3)类似地,由y=-x2,y=-x2和y=-2x2的图象,可知:当a0时,抛物线y=ax2开口_____,顶点是抛物线上位置_____的点,|a|越大,抛物线的开口越___.1212y(0,0)向上最低小向下最高小【总结】1.二次函数y=ax2的图象及其性质.(1)图象:y=ax2(a≠0)的图象是一条_____,这条_____叫做抛物线.(2)对称性:抛物线y=ax2关于____对称.(3)开口方向:当a0时,抛物线y=ax2开口_____;当a0时,抛物线y=ax2开口_____.曲线曲线y轴向上向下(4)顶点:抛物线与_______的交点,叫做抛物线的顶点.抛物线y=ax2的顶点是_____,当a0时,顶点是抛物线上位置_____的点,当x=0时,函数值最小;当a0时,顶点是抛物线上位置_____的点,当x=0时,函数值最大.(5)增减性:当a0时,左___右___,当a0时,左___右___.(6)开口大小:|a|越大,抛物线的开口越___.对称轴原点最低最高降升升降小2.二次函数y=ax2与y=-ax2(a0)的关系.(1)抛物线y=ax2与y=-ax2关于__轴对称.(2)抛物线y=ax2与y=-ax2关于_____成中心对称.x原点(1)二次函数y=2x2的图象与x轴无交点.()(2)二次函数y=-3x2的图象是左降右升.()(3)二次函数y=5x2的最大值为0.()(4)二次函数y=2x2与y=x2的图象关于x轴对称.()(5)二次函数y=-x2的图象关于y轴对称.()1212××××√知识点1二次函数y=ax2的图象与性质【例1】函数y=(m+2)是关于x的二次函数,求:(1)满足条件的m的值.(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)m为何值时,抛物线的开口向下?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?2mm4x【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数是__，二次项的系数不为__.由此得到关于m的方程组是解得m=__或m=___.(2)若抛物线有最低点，则抛物线的开口_____，所以二次项的系数_____零，由此确定符合条件的m值是__.在对称轴的___侧，即x___0时，y随x的增大而增大.202mm42,m20，2-3向上大于2右＞(3)二次项的系数满足什么条件时，抛物线的开口向下？由此确定符合条件的m值是多少？在对称轴的哪一侧，y随x的增大而减小？提示：二次项的系数小于零时，抛物线的开口向下，所以，符合条件的m的值为-3，在对称轴的右侧，即x＞0时，y随x的增大而减小.【总结提升】二次函数y=ax2的“两关系四对等”1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔x＞0时，y随x的增大而增大，(右升)x＜0时，y随x的增大而减小.(左降)2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔x＞0时，y随x的增大而减小，(右降)x＜0时，y随x的增大而增大.(左升)知识点2求二次函数y=ax2的解析式【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为m.【思路点拨】以C为坐标原点,取向右、向上分别为x轴、y轴正方向,建立坐标系.设出函数解析式,把点B坐标代入,确定解析式,令y=-16,求出对应x值,求出DE的长.【自主解答】以顶点C为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设抛物线解析式为y=ax2，由题意得B(18，-9)，把B(18，-9)代入y=ax2,得a×182=-9，a=所以抛物线解析式为y=当y=-9-7=-16时，-16=x=±24,∴DE=48m.答案：481.3621x,3621x36，【总结提升】解二次函数y=ax2的应用题的三步骤题组一:二次函数y=ax2的图象与性质1.下列函数中,当x0时,函数值y随x的增大而增大的有()①y=3x,②y=-x+3,③y=-,④y=-x2.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.当x0时,函数值y随x的增大而增大的是①③④,函数值y随x的增大而减小的是②,所以函数值y随x的增大而增大的有3个.1x2.关于抛物线y=x2的性质错误的是()A.经过点(-2,4)B.对称轴是y轴C.与抛物线y=-x2的开口大小一样D.与y轴不相交【解析】选D.∵当x=-2时,y=4,∴抛物线经过点(-2,4),∴A选项正确.∵a=10,∴抛物线的对称轴是y轴,与y轴交于点(0,0),与抛物线y=-x2的开口大小一样,∴选项B,C正确,D选项错误.3.如图,四个二次函数的图象中,分别对应的关系式是:①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是()A.abcdB.abdcC.bacdD.badc【解析】选A.由图象可知a0,b0,c0,d0,且ab0,dc0.4.(2013·丽水中考)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点()A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-4,2)D.(4,-2)【解析】选A.二次函数y=ax2的图象的对称轴为直线x=0,即图象上的点关于y轴对称,又点P(-2,4)与点(2,4)关于y轴对称,所以点(2,4)必在函数图象上.5.已知点(m,y1),(m+3,y2)都在抛物线y=x2上,且m-3,则y1y2(填“”“”或“=”).【解析】∵m-3,∴mm+30,当x0时,y随x的增大而减小,又∵mm+30,∴y1y2.答案:题组二:求二次函数y=ax2的解析式1.已知点(a,8)在二次函数y=ax2的图象上,则a的值是()A.2B.-2C.±2D.±【解析】选A.把点(a,8)代入二次函数解析式得8=a3,所以a=2.22.二次函数y=ax2与y=2x2的图象,开口大小、形状都相同,开口方向相反,则a=.【解析】由题意得|a|=2,因为二次函数y=ax2的图象开口向下,所以a=-2.答案:-23.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式是s=v2，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车，此时刹车_____有危险(选填“会”或“不会”).【解析】把v=100代入函数关系式得s=100＞80，所以此时刹车会有危险.答案：会11004.如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行于x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为(2，1)，点P(a，b)在抛物线上运动．(点P异于点O)．(1)求此抛物线的解析式.(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF＝PR.【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),∵抛物线的顶点为坐标原点O,∴可设抛物线的解析式为:y=ax2,将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-x2.1414(2)如图,过点P作PG⊥y轴,垂足为G.连结PF.由题意可知:F(0,-1),G(0,b),R(a,1),∴GF=|b-(-1)|=|b+1|,PG=|a|,PR=1-b,∵点P(a，b)为抛物线y=-x2上的动点，∴b=－a2，变形得：a2=－4b，在Rt△PGF中，由勾股定理可得：∴PF＝PR.1414222PFb1ab14bb11b－－－，【想一想错在哪？】已知A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)分别是抛物线y=(-a2-1)x2上的三个点,试比较y1,y2,y3的大小.提示:在对称轴的两侧,二次函数的增减性是不相同的.对称的两个点的函数值是相同的.