九年级数学下册 第2章二次函数 2.1 建立二次函数模型课件 湘教版

第2章二次函数2.1建立二次函数模型1.理解二次函数及其相关概念.(重点)2.会辨别哪些函数是二次函数.(重点)3.会用二次函数表示简单变量之间的关系.(重点、难点)请完成以下各题:1.正方形的面积y与边长x之间的关系是y=__.2.三角形的一边是这边上高的2倍,设三角形这条边的长为x,面积为y,则y关于x的关系式为y=_____.3.在半径为4cm的圆中,挖去一个边长为xcm的正方形,剩下部分的面积为ycm2,则y关于x的关系式为y=_______.x216π-x221x44.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么商店所赚钱y元与售价x元之间的函数关系式为y=_______________.-10x2+560x-7350【总结】1.二次函数的定义:如果函数解析式是自变量的二次多项式,这样的函数称为二次函数.2.一般形式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).3.相关概念:__是二次项系数,__是一次项系数,__是常数项.abc(1)函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)是二次函数.()(2)函数y=-x2不是二次函数.()(3)函数y=(x+1)2-(x-1)2是二次函数.()(4)在函数y=-2(x-2)2中,二次项的系数是-2,没有一次项,常数项是-2.()(5)长方形的长是宽的2倍,设长方形的宽为x,面积为y,则y关于x的关系式为y=2x2.()××××√知识点1二次函数的定义【例1】已知y=(m2+m)+(m－3)x+m2是关于x的二次函数，求出它的关系式．【思路点拨】先由二次函数的定义确定m的值，进而确定二次函数的关系式．2m2m1x－－【自主解答】根据二次函数的定义知m应满足的条件是∴m=3，∴y=12x2+9．22m2m12m3m1m0m1mm0－－，或－，解得：且－，，【总结提升】理解二次函数应注意的三个方面1.形式:y=ax2+bx+c.2.条件:a≠0.3.实质:函数y是自变量x的二次多项式.知识点2列二次函数关系式【例2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是x米,求y与x之间的关系式.【解题探究】1.镜子的宽度是x米时,镜面玻璃的费用是多少?提示:∵镜面玻璃的面积是2x·x=2x2,∴镜面玻璃的费用是120×2x2=240x2(元).2.边框的费用如何表示?提示:边框的费用为2(2x+x)×30=180x(元).3.总费用y元由哪几部分组成?提示:总费用y元由镜面玻璃的费用、边框的费用及加工费三部分组成.4.由以上探究可知y与x之间的关系式为y=_____________.240x2+180x+45【互动探究】如果制作这面镜子共花了195元,那么这面镜子的长和宽分别是多少?提示:由y=195可得240x2+180x+45=195,解得x1=0.5,x2=-1.25(舍去),∴x=0.5,2x=1,∴镜子的长和宽分别是1米和0.5米.【总结提升】实际问题中建立二次函数关系式的“三步法”题组一:二次函数的定义1.下列函数不属于二次函数的是()A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2C.y=2(x+3)2-2x2D.y=1-x2123【解析】选C.把每一个函数式整理为一般形式,A.y=(x-1)(x+2)=x2+x-2,是二次函数;B.y=(x+1)2=x2+x+,是二次函数;C.y=2(x+3)2-2x2=12x+18,是一次函数;D.y=1-x2=-x2+1,是二次函数.12312123【归纳整合】二次函数的判断所有的二次函数都可以化为y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式.若给出的函数关系式较复杂,则先化为一般形式,再根据二次函数的定义进行判断.2.(2013·怀化中考)下列函数是二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=x-2【解析】选C.A是一次函数;B是一次函数;C是二次函数;D是一次函数.123.在二次函数y=-x2+1中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为.【解析】根据题意,二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1,0,1,其和为:-1+0+1=0.答案:04.请写出一个符合以下条件的y关于x的二次函数的关系式:(1)二次项系数是一次项系数的2倍,常数项为任意值.(2)二次项系数为-5,一次项系数为常数项的3倍.【解析】答案不唯一,根据二次函数的定义确定关系式.(1)y=4x2+2x-1.(2)y=-5x2+3x+1.5.已知函数y=(m2-1)x2+(m+1)x+5,(1)当m为何值时,此函数是关于x的二次函数?(2)当m为何值时,此函数是关于x的一次函数?【解析】(1)由函数是关于x的二次函数,得m2-1≠0,即m≠±1,所以当m≠±1时,此函数是关于x的二次函数.(2)由函数是关于x的一次函数,得∴m=1,所以当m=1时,此函数是关于x的一次函数.2m10m10,，题组二:列二次函数关系式1.下列函数关系中,可以看成二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是()A.在一定的距离内汽车行驶的平均速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数与年份的关系C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度(h)与时间(t)的关系(不计空气阻力)D.圆的周长与圆的半径之间的关系【解析】选C.A.距离一定,汽车行驶的平均速度与行驶时间的积是常数.在距离一定时,平均速度与行驶时间成反比例关系;B.设原来的人口数是a,x年后的人口数是y,则y=a(1+1%)x,不是二次函数关系;C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度h与时间t的关系(不计空气阻力),其关系式为h=v0t-4.9t2,其中v0为发射信号弹的初速度,是二次函数关系;D.设半径是r,则周长c=2πr,是一次函数关系.2.一台普通机械机床原价60万元,每次降价的百分率均为x,那么连续两次降价后的价格y(万元)为()A.y=60(1-x)B.y=60(1+x)C.y=60(1-x)2D.y=60(1+x)2【解析】选C.根据题意可列关系式:y=60(1-x)(1-x),整理得,y=60(1-x)2.3.元旦来临之际,某班x名同学都相互赠送贺卡一张,则该班送贺卡总数y与x的解析式为.【解析】每一名同学需要送贺卡(x-1)张,则x名同学共送贺卡x(x-1),∴y=x(x-1).答案:y=x(x-1)4.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的边BC长为xm,绿化带的面积为ym2.y与x之间的函数关系式是,自变量x的取值范围是.【解析】∵BC=x,∵墙长25m，∴0x≤25.答案：y=-x2+20x0x≤25240x1AB20x,2211yx(20x)x20x.22125.△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE=45°．(1)求证：△ABD∽△DCE.(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式.【解析】(1)∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,∴∠B=∠C=45°.∴∠BDA+∠BAD=135°,∵∠ADE=45°,∴∠BDA+∠CDE=135°.∴∠BAD=∠CDE.∴△ABD∽△DCE.(2)∵△ABD∽△DCE，2ABBD.CDCEBDx,CDBCBD2x.1x,CE2xCE2xx.222AEACCE12xxx2x1.yx2x10x2.即【想一想错在哪？】当m为何值时，y=(m+1)是关于x的二次函数？2m3m2x－－提示：判断一个函数是否是二次函数，要注意其二次项系数a是否为零.