搜索
3正方形的性质与判定第2课时1.正方形的判定定理:(1)对角线_____的菱形是正方形.(2)对角线_____的矩形是正方形.(3)有一个角是_____的菱形是正方形.相等垂直直角2.中点四边形与原四边形的关系:(1)任意四边形的中点四边形是___________.(2)对角线相等的四边形的中点四边形是_____.(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是_____.(4)对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是_______.平行四边形菱形矩形正方形【思维诊断】(打“√”或“×”)1.邻边相等的矩形是正方形.()2.一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.()3.一条对角线平分一组对角的矩形是正方形.()4.顺次连接平行四边形四边中点得到的是正方形.()√×√×知识点一正方形的判定与应用【示范题1】(2013·南京中考)如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N.(1)求证:∠ADB=∠CDB.(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.【解题探究】(1)∠ADB和∠CDB分布在两个三角形中,先证明什么条件,才能证明∠ADB=∠CDB?提示:根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可得到∠ADB=∠CDB.(2)由∠ADC=90°和已知条件可得四边形MPND是什么样的四边形?再证明什么条件,才能证明四边形MPND是正方形.提示:由∠ADC=90°和已知条件可得四边形MPND是矩形,再由PM=PN可得四边形MPND是正方形.【尝试解答】(1)∵对角线BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,在△ABD和△CBD中,∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB.(2)∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴∠PMD=∠PND=90°,∵∠ADC=90°,∴四边形MPND是矩形.又∵∠ADB=∠CDB,∴PM=PN,∴四边形MPND是正方形.ABCB,ABDCBDBDBD,，【想一想】从对角线角度怎样判定正方形?提示:(1)对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.(2)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.(3)对角线相等的菱形是正方形.(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.【微点拨】1.如果已知四边形是矩形,再证明其是菱形,即可判定其是正方形.2.如果已知四边形是菱形,再证明其是矩形,即可判定其是正方形.3.如果已知一个一般四边形,只要再证明其既是菱形又是矩形,即可判定其是正方形.【方法一点通】判定正方形的一般思路知识点二中点四边形【示范题2】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,且AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是正方形.【思路点拨】先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD判定四边形EFGH是正方形.【自主解答】在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点,故可得:EF=AC,同理FG=BD,GH=AC,HE=BD,∵AC=BD,∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形.在△ABD中,E,H分别是AB,AD的中点,则EH∥BD,同理GH∥AC,又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴∠EHG=∠BOC=90°,∴四边形EFGH是正方形.12121212【想一想】在本题中,如果没有AC=BD这一条件,那么四边形EFGH是什么形状的四边形?请说明理由.提示:四边形EFGH是矩形,∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是平行四边形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴∠EHG=∠BOC=90°,∴四边形EFGH是矩形.【备选例题】在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接EF,FG,GH,HE.试添加一个条件,使四边形EFGH是菱形.【解析】添加条件为AC=BD.证明:连接AC,BD,由E,F,G,H分别是所在边的中点,知EF∥AC,且EF=AC,GH∥AC,且GH=AC,∴GH∥EF,且GH=EF,四边形EFGH是平行四边形.同理EH=BD,又∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形.121212【方法一点通】中点四边形的“两点性质”1.中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2.中点四边形的面积为原四边形面积的一半.