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4用因式分解法求解一元二次方程1.因式分解法的定义:将一元二次方程因式分解化为两个_________的乘积等于__的形式,再使这两个一次因式分别等于__,从而求出方程的解的方法.一次因式002.因式分解法的理论依据:如果a·b=0,那么a=__或b=__.3.因式分解法的数学思想:体现了_____的思想,即将二次方程利用因式分解转化为一次方程.00转化【思维诊断】(打“√”或“×”)1.因式分解法解一元二次方程时,因式分解的主要方法是提公因式法和公式法.()2.方程2x2+x=0的解是x=-.()3.方程(x-2)(x-1)=2的解是x1=2,x2=1.()12√××知识点一用因式分解法解一元二次方程【示范题1】用因式分解法解方程(x-1)2=2-2x.【思路点拨】方程右边化为0→方程左边因式分解→得到两个一次方程→得到原方程的解.【自主解答】移项,得(x-1)2+2x-2=0,∴(x-1)2+2(x-1)=0,∴(x-1)(x-1+2)=0,∴(x-1)(x+1)=0,∴x-1=0,或x+1=0,∴x1=1,x2=-1.【想一想】下列解方程-2x2=5x的解法正确吗?为什么?解:两边都除以x,得-2x=5,所以x=-,提示:不正确,因为方程两边若同时除以x,结果就把x=0这个根遗漏了,所以不正确.52【备选例题】用因式分解法解方程(3x-1)2=16.【解析】移项,得(3x-1)2-16=0,∴(3x-1+4)(3x-1-4)=0,∴3x-1+4=0,或3x-1-4=0,∴x1=-1,25x.3【方法一点通】因式分解法解一元二次方程的“四个步骤”1.转化:把方程化为右边为0的形式.2.分解:将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式.3.降次:令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程.4.求解:解这两个一元一次方程,得到原方程的解.知识点二一元二次方程解法的选择【示范题2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法,直接开平方法,配方法和公式法.请选择你认为适当的方法解下列方程.(1)x2-3x+1=0.(2)(x-1)2=3.(3)x2=3x.(4)x2-2x=4.【思路点拨】根据方程特点,选择适当的方法解方程.【自主解答】(1)a=1,b=-3,c=1,由求根公式得(2)开平方,得x-1=±,∴x1=1+,x2=1-.(3)移项,得x2-3x=0,因式分解,得x(x-3)=0,于是得x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3.(4)配方,得(x-1)2=5,∴x-1=±,∴x1=1+,x2=1-.23341135x22，123535x,x.22333555【想一想】张明觉得解方程(x-1)(x+2)=1,最恰当的办法是因式分解法,因为左边不用分解了.你觉得呢?这个题目选择怎样的解法最合适?提示:张明的想法是错误的.虽然左边不用分解,但等号的右边不是0,不能直接用因式分解的办法求解.原方程可化为:x2+x-3=0,该方程用公式法求解最合适.【微点拨】(1)解方程若没有具体的要求,我们通常选择较简便的方法求解.(2)一般解方程最后的选择是公式法和配方法,因为它适合任意的一元二次方程.【方法一点通】解一元二次方程的方法选择(1)若给定的方程为x2=n或者(x+m)2=n(n≥0)型时,选用直接开平方法.(2)若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解时,选用因式分解法.(3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解时,一般选用公式法.(4)配方法过程较烦琐,没有特别说明一般不选用.