搜索
24本章小结本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆周弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积第1部分圆的概念和性质第2部分与圆有关的位置关系本章安排复习内容第3部分正多边形和圆第4部分弧长和面积的计算第5部分有关作图一.圆的基本概念:1、圆（两种定义）、圆心、半径；2、圆的确定条件：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一直线上的三个点确定一个圆。3、弦、直径；4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；5、等圆、等弧，同心圆；．O第1部分圆的概念和性质6、圆心角、圆周角；7、圆内接多边形、多边形的外接圆；8、割线、切线、切点、切线长；9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。二.圆的基本性质1.圆的对称性:(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.．2.垂径定理●OABCDM└③AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”若①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.（1）定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2）垂径定理的推论②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCD●MAB┗平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵222)2(adrhda2O垂径定理的应用(1)直径(过圆心的线)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣弧；(5)平分优弧.知二得三注意:“直径平分弦则垂直弦.”这句话对吗?()错●OABCDM└●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧例1⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离.2cm或14cm在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.●OABDA′B′D′┏如由条件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′3.圆心角、弧、弦、弦心距的关系例2[2011·济宁]如图31－2，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连结BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．图31－2(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.⌒⌒4.圆周角定理及推论●OABC●OBACDE●OABC90°的圆周角所对的弦是.定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半推论:直径所对的圆周角是.直角直径判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.(×)(×)(√)例3[2012·南宁]如图31－3，点B，A，C，D在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC＝________°.图31－325[解析]连结OC，∵OA⊥BC，∴AB＝AC，∴∠AOC＝∠AOB＝50°，∴∠ADC＝12∠AOC＝25°..p.or.o.p.o.p三、点和圆的位置关系Op＜r点p在⊙o内Op=r点p在⊙o上Op＞r点p在⊙o外第2部分与圆有关的位置关系不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确例4：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，Ｐ是圆环内一点，则ＯＰ的取值范围是＿＿＿＿＿.OPrOPR1、直线和圆相交四.直线与圆的位置关系dr;dr;2、直线和圆相切3、直线和圆相离dr.●O●O相交●O相切相离rrr┐dd┐d┐=切线的判定定理•定理经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.CD●OA如图∵OA是⊙O的半径,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切线.（１）定义（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定的两种常用辅助线1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；（连半径，证垂直）2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．（作垂直，证相等）例5[2012·无锡]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交D[解析]分OP垂直于直线l，OP不垂于直线l两种情况讨论．当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．OPP切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.∵CD切⊙O于Ａ,OA是⊙O的半径CD●OA∴CD⊥OA.切线的性质定理出可理解为如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么第三个也成立.①经过切点、②垂直于切线、③经过圆心.如①②③①③②②③①例6[2012·湛江]如图32－1，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．图32－1(1)证明：连结OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.(2)解：设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2，∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3.ABCOABCI三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外接圆和内切圆锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O三角形的外心是否一定在三角形的内部？实质性质三角形的外心三角形的内心三角形三边垂直平分线的交点三角形三内角角平分线的交点到三角形各边的距离相等到三角形各顶点的距离相等从圆外一点向圆所引的两条切线,切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.ABP●O12ABC●┗┓ODEF●ABC●O●┓ODEF.21cbarS.2cbar切线长定理:直角三角形的内切圆半径与三边关系.三角形的内切圆半径与圆面积.∵PA,PB切⊙O于A,B∴PA=PB∠1=∠2例7:1、选择题：下列命题正确的是（）A、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆2、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为____．30cm2C与圆有关的辅助线的作法：辅助线，莫乱添，规律方法记心间；圆半径，不起眼，角的计算常要连，构成等腰解疑难；切点和圆心，连结要领先；遇到直径想直角，灵活应用才方便。弦与弦心距，亲密紧相连；五、正多边形的有关概念:2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距．OABFDCEG第3部分正多边形和圆例8.（2010山东济南）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A．cmB．cmC．cmD．1cm323332A1.圆的周长和面积公式2.弧长的计算公式3.扇形的面积公式S=360nπr2L=180nπr=12lrS或六.圆中的有关计算:周长C=2πr面积S=πr2．Or第4部分弧长和面积的计算4.圆锥的展开图:底面侧面aahrS侧=πraS全=πra+πr2例9[2011·宁波]如图34－3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为()A．4πB．42πC．8πD．82π图34－3D[解析]过C作CO⊥AB，则OC＝2,Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为2×OC×AC×π＝2×2×22π＝82π.七、怎样要将一个如图所示的破镜重圆？第5部分有关作图ABCP例10、如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若CP=7cm，AB=28cm，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径